Es bien sabido que la extensión unramificada máxima de $\mathbb{Q}_p$ puede ampliarse añadiendo las raíces de la unidad de orden primo a $p$ . ¿Existe alguna descripción explícita de la máxima extensión totalmente ramificada de $\mathbb{Q}_p$ ?
Respuesta
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MatteS
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Un compuesto de extensiones totalmente ramificadas no necesita ser totalmente ramificado:
Ejemplo 1. (Según sugerencia de LSpice) Considere las extensiones $\mathbb Q_p(\sqrt{p})$ y $\mathbb Q_p(\sqrt{\varepsilon p})$ donde $\varepsilon \in \mathbb Z_p^\times$ es una unidad no cuadrada (correspondiente, por ejemplo, a cualquier elevación de un generador de $\mathbb F_p^\times$ ). Entonces el compositum $\mathbb Q_p(\sqrt{p},\sqrt{\varepsilon p})$ contiene la extensión no ramificada $\mathbb Q_p(\sqrt{\varepsilon})$ .
Ejemplo 2. Considere la ampliación $\mathbb Q_p \subseteq \mathbb Q_p(\sqrt[n]{p})$ donde $n = p^r - 1$ . Entonces el cierre de Galois de esta extensión contiene todas las $n$ -raíces de la unidad. Pero $\mathbb Q_p \subseteq \mathbb Q_p(\zeta_{p^r-1})$ es el único grado $r$ extensión no codificada. Así, vemos que el cierre de Galois de una extensión totalmente ramificada ni siquiera necesita ser totalmente ramificada.
Así que no existe el máxima extensión totalmente ramificada. En principio, aún se podría construir alguna extensión máxima totalmente ramificada (es decir, ninguna otra extensión es totalmente ramificada), pero hasta donde yo sé estos campos no son muy explícitos. Por el segundo ejemplo anterior, no es una extensión de Galois de $\mathbb Q_p$ .
Por otra parte, la máxima abeliano Las extensiones totalmente ramificadas están muy bien estudiadas: La teoría de Lubin-Tate da una construcción relativamente explícita de una extensión de campo abeliano $K \to K^{\operatorname{LT}}$ que sea linealmente disjunta de $K^{\operatorname{ab}}_{\operatorname{nr}}$ de forma que su compositum sea igual a $K^{\operatorname{ab}}$ . Así, $K^{\operatorname{LT}}$ desempeña el papel de una extensión abeliana máxima totalmente ramificada en un sentido relativamente fuerte. El caso más explícito es $K=\mathbb Q_p$ en este caso tenemos $K^{\operatorname{LT}} = \mathbb Q_p(\zeta_{p^\infty})$ .
