¿Tienen siempre los grupos algebraicos semisimples representaciones irreducibles fieles?

Question

Para simplificar, sólo hablaré de grupos conexos sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero.

El teorema básico de los grupos algebraicos afines es que todos admiten representaciones fieles de dimensión finita. La dirección fundamental teorema para grupos semisimples es que estas representaciones son todas completamente reducibles, pero desgraciadamente no hay ninguna razón para que cualquier sumando irreducible de una representación fiel sea fiel, sólo que los núcleos de todas estas representaciones se intersecan trivialmente.

Mi pregunta es si, de hecho, existe tal representación.

(Respuesta: si el centro es cíclico).

Esto no es válido para los grupos reductores generales por la siguiente razón: si $T$ es cualquier toro de rango $r > 1$ entonces sus representaciones irreducibles son todos los caracteres $\chi \colon T \cong \mathbb{G}_m^r \to \mathbb{G}_m$ que, por tanto, tienen núcleos no triviales. Más generalmente, cualquier grupo reductor $G$ tiene como centro conexo un toro de algún rango $r$ así que por el lema de Schur este centro actúa por un carácter $\chi$ en cualquier representación irreducible de $G$ y si $r > 1$ Por lo tanto, no actúa con lealtad.

El caso excepcional $r = 1$ hace tienen un ejemplo, a saber $\operatorname{GL}_n$ cuya representación estándar es fiel e irreducible y cuyo centro tiene rango 1. Una versión más general de esta pregunta podría ser, entonces:

¿Tiene todo grupo reductor cuyo centro tenga rango como máximo 1 una representación irreducible fiel?

(Respuesta: cuando no es semisimple, si el centro es conexo).

Otro caso especial es que si $G$ es simple y de tipo adjunto, entonces su representación adjunta es irreducible y fiel por definición (o, dependiendo de tu definición, porque el centro es trivial). Una versión constructiva de esta pregunta para cualquier $G$ (semisimple o reductora de rango central 1) es entonces:

¿Podemos dar una construcción de una representación fiel e irreducible de $G$ a partir de su representación adjunta?

(¡Aún sin respuesta!)

Esto es deliberadamente un poco vago, ya que no quiero restringir la forma posible de tal construcción, sólo que no empiece con "Tira la representación adjunta y toma otra tal que...".

Por último, supongamos que la respuesta es "no".

¿Cuál es el obstáculo para que exista tal representación?

(Respuesta: para $Z$ el centro, es la existencia de un generador de $X^*(Z)$ .)

Answer 1

Esta es una ampliación de la respuesta de George (y de mi propia semi-respuesta eliminada), junto con un comentario sobre las preguntas adicionales planteadas. George ya ha respondido a la pregunta básica sobre la existencia de representaciones irreducibles fieles para grupos semisimples. Así que esto es sólo un suplemento, no una respuesta separada.

Para un semisimple grupo algebraico $G$ (sobre cualquier campo algebraicamente cerrado), la clasificación de Chevalley determina $G$ hasta el isomorfismo en términos de la forma en que la red de pesos de un toro maximal de $G$ se encuentra entre la red de pesos completos (de un grupo simplemente conexo) y la red de raíces. La clasificación relacionada de las representaciones irreducibles de $G$ por pesos más altos también se da en términos de pesos integrales dominantes que yacen en esta red de pesos. En particular, si se puede elegir un peso que no esté en una red intermedia más pequeña, se producirá un fiel representación irreducible de $G$ : de lo contrario da una representación irreducible fiel de un grupo cociente propio y, por tanto, tiene mayor peso en una subred propia.

Tal peso existe a menos que el "grupo cofundamental" (cociente de la red de pesos por la red de raíces) no sea cíclico. Para un sistema de raíces irreducible esto ocurre sólo para el tipo par D, donde se obtiene un grupo de Klein 4 (para grupos de Spin); en otros casos el grupo cofundamental (= centro de $G$ en característica 0) es cíclica. En general $G$ es un producto casi directo de grupos con sistemas de raíces irreducibles; así que hay que tener cuidado con factores de tipo par D.

AÑADIDO: Para cualquier semisimple conexo $G$ (y cualquier característica), el argumento que acabamos de esbozar lleva rutinariamente a la conclusión de que existe una representación irreducible fiel precisamente cuando ningún factor simple de $G$ es simplemente conexo de tipo par D. Esa excepción se señaló en comentarios/respuesta anteriores y sólo utiliza el Lemma de Schur. Para tratar todos los tipos simples, se utiliza la clasificación (Killing-Cartan/Chevalley) para evitar los casos en que el grupo cofundamental no es cíclico. Entonces la prueba para un $G$ se reduce a ésta: $G$ es un producto casi directo de grupos simples, por lo que sólo hay que encontrar los pesos más altos adecuados para los factores individuales factores individuales para obtener $G$ . (En efecto, se encuentra una representación irreducible del grupo de cobertura simplemente conexo, un producto directo de grupos simples, que induce un fiel representación irreducible de $G$ por si acaso $G$ no tiene factores Spin).

Como señala Ryan existe un problema para los grupos reductores si el centro es un toro de dimensión $>1$ . Por lo demás, probablemente se pueda imitar la situación de los grupos lineales generales: se parte de una representación irreducible fiel del grupo derivado (si se dispone de ella) y luego se añaden los escalares (que, por supuesto, ya pueden solapar la imagen del grupo derivado en un subgrupo finito).

La otra cuestión sobre la "construcción" de $G$ (en una representación adecuada) a partir del conocimiento de su representación adjunta depende de qué "construcción" en este contexto. Para grupos semisimples, hay formas indirectas de construir cada representación irreducible de un peso máximo dado (en característica 0) trabajando con productos tensoriales de representaciones fundamentales. Sin embargo, esto no proporciona información directa del tipo contenido en las fórmulas de Weyl de carácter y dimensión. En cualquier caso, si existe un peso máximo adecuado (como se ha comentado anteriormente) que dé una representación fiel de $G$ Este procedimiento bastante abstracto "construye" la representación fiel irreducible correspondiente. Pero creo que estás pidiendo una construcción más "natural" basada en la representación adjunta, que no puedo visualizar.

Answer 2

Editar : Doy ahora el argumento para la reducción general $G$ .

Sea $G$ sea un grupo algebraico reductor sobre un campo alg. cerrado $k$ de char. 0. Fijar un max toro $T$ y escribe $X = X^*(T)$ para su grupo de personajes. Escriba $R$ para la subgrupo de $X$ generada por las raíces de $G$ . Entonces el centro $Z$ de $G$ es el subgrupo diagonalizable de $T$ cuyo grupo de caracteres es $X/R$ .

Reclamación: $G$ tiene una representación irreducible fiel si y sólo si el carácter grupo $X/R$ de $Z$ es cíclico.

Nota para semisimple $G$ el centro $Z$ es finito. Dado que la característica de $k$ es 0, en este caso el grupo de $k$ -puntos de $Z$ es (no canónicamente) isomorfo a $X/R$ . Así $Z$ es cíclico si y sólo si $X/R$ es cíclico.

En general, la condición de que $X/R$ es cíclico significa que el grupo de puntos $Z(k)$ es cíclico finito, o que $Z$ es un toroide unidimensional.

En cuanto a la prueba, para $(\implies)$ véase el comentario de Boyarsky tras la respuesta de reb.

Para $(\Leftarrow)$ Permítanme tratar primero el caso en el que $G$ es casi simple es decir, donde el sistema radicular $\Phi$ de $G$ es irreducible. Supongamos que la clase de $\lambda \in X$ genera el grupo cíclico $X/R$ . Dado que el grupo de Weyl actúa sobre $X$ dejando $R$ invariante, la clase de cualquier $W$ -conjugado de $\lambda$ también es generador de $X/R$ . Por lo tanto, podemos suponer $\lambda$ ser dominante y no-0 [si $X=R$ por ejemplo $\lambda$ ser una raíz dominante...] Ahora el simple $G$ -módulo $L=L(\lambda) = H^0(\lambda)$ con "mayor peso $\lambda$ " será fiel. Para ver esto, tenga en cuenta que desde $\lambda \ne 0$ , $L$ no es la representación trivial. Dado que $G$ es casi simple, los únicos subgrupos normales propios están contenidos en $Z$ . Así pues, basta con observar que la acción de $Z$ en el $\lambda$ espacio de peso de $L$ es fiel.

El caso general es más o menos el mismo, pero con un poco más de contabilidad. Escribe el sistema raíz $\Phi$ de $G$ como unión disjunta $\Phi = \cup \Phi_i$ de sus componentes irreducibles. Existe una isogenia $$\pi:\prod_i G_{i,sc} \times T \to G$$ donde $T$ es un toroide y $G_{i,sc}$ es el grupo casi simple simplemente conexo con sistema de raíces $\Phi_i$ . Escriba a $G_i$ para la imagen $\pi(G_{i,sc}) \subset G$ .

Le site hecho clave es esto: una representación $\rho:G \to \operatorname{GL}(V)$ tiene $\ker \rho \subset Z$ si y sólo si la restricción $\rho_{\mid G_i}$ no es trivial para cada $i$ .

Ahora, como antes escoge $\lambda \in X$ para el que el coset de $\lambda$ genera el supuesto grupo cíclico $X/R$ . Tras sustituir $\lambda$ por un grupo de Weyl conjugado, podemos suponer $\lambda$ ser dominante. Después de posiblemente reemplazar repetidamente $\lambda$ por $\lambda + \alpha$ para raíces dominantes $\alpha$ podemos suponer que $\lambda$ tiene la siguiente propiedad: $$(*) \quad \text{for each $ i $, there is $ \beta_i \in \Phi_i $ with $ \langle \lambda,\beta_i^\vee \rangle \ne 0 $}$$

Ahora dejemos que $L = L(\lambda)$ sea el módulo simple de mayor peso $\lambda$ . Condición $(*)$ implica que $G_i$ actúa de forma no trivial sobre $L$ para cada $i$ por el "hecho clave", el núcleo de la representación de $G$ en $L$ se encuentra en $Z$ . pero como $\lambda$ genera el grupo de caracteres de $Z$ el centro $Z$ actúa fielmente en el $\lambda$ espacio de peso de $L$ .

Answer 3

Los grupos de espín en dimensiones pares tienen como centro un grupo no cíclico (de orden 4) y por tanto no tienen representaciones irreducibles fieles.