Demostrar que $\lim_{x \to \infty} x^2 \neq10^{10}$ usando una prueba por contradicción estilo épsilon delta.

Question

Demostrar que $\lim_{x \to \infty} x^2 \neq10^{10}$ usando una prueba por contradicción estilo épsilon delta.

Mi intento:

Podemos demostrar de forma bastante directa que $\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$ por lo que necesitamos demostrar una contradicción en que esta función tenga dos límites. Por definición

$(1)$ para todos $ M_1 > 0$ existe un $N_1 > 0 $ s.t. $x > N_1 \rightarrow x^2 > M_1$

$(2)$ para todos $ \epsilon_2 > 0$ existe un $N_2 > 0 $ s.t. $x > N_2 \rightarrow |x^2 - 10^{10}| < \epsilon_2$

Sea $N = max(N_1, N_2)$ . Entonces para $x > N \rightarrow x^2 > M$ . Sin embargo $M > L + \epsilon_2$ lo que haría que $|x^2 - 10^{10}| > \epsilon_2$ . Por lo tanto, por contradicción, el límite no se cumple.

¿Es correcta esta prueba?

Answer 1

Sí tu prueba es correcta, aunque necesitas tomar $N=\max(N_1,N_2)$ para que puedas utilizar tanto (1) como (2).

También utilizaría $\Rightarrow$ en lugar de $\to$ ya que, en este tipo de pruebas, se suele utilizar como límite.

Creo que se puede acortar simplemente diciendo que si $\lim x^2=10^{10}$ dado $\epsilon > 0$ deberíamos poder encontrar $N$ tal que $|x^2-10^{10}|<\epsilon$ para todos $x>N$ pero cuando $x>10^5+\epsilon$ está claro que esto es falso.

Answer 2

Tal vez para ser más claros podríamos proceder de la siguiente manera, supongamos

$$\lim_{x \to \infty} x^2 =10^{10}$$

es decir

$$\forall \epsilon> 0 \quad \exists N > 0 \quad \forall x > N \quad |x^2 - 10^{10}| < \epsilon$$

pero para $x^2 > 10^{10}+\epsilon$ obtenemos una contradicción.

Answer 3

Hay un problema cuando se escribe "Sin embargo $M>L+\varepsilon_2$ ". ¿Por qué? Yo no había mencionado $M$ ni $L$ antes. ¿Por qué $M$ superior a $L+\varepsilon_2$ ?

Además, no me queda claro que se pueda utilizar el hecho de que $\lim_{x\to\infty}x^2=\infty$ .

Puedes hacerlo de la siguiente manera. Para demostrar que no tenemos $\lim_{x\to\infty}x^2=10^{10}$ Tomaré $\varepsilon=1$ . Toma $M>0$ . Ahora, toma un poco de $x$ que es a la vez mayor que $M$ y mayor que $10^6$ . Entonces $$x>10^6\implies x^2>10^{12}\implies|x^2-10^{10}|\geqslant1.$$ Por lo tanto, he demostrado que hay un número $\varepsilon>0$ tal que, para cada $M>0$ hay algo de $x>M$ tal que $|x^2-10^{10}|\geqslant\varepsilon$ o $$(\exists\varepsilon>0)(\forall M>0)(\exists x>M):|x^2-10^{10}|\geqslant\varepsilon,$$ que lo mismo que afirmar que no tenemos $\lim_{\to\infty}x^2=10^{10}$ .