Historia de fondo :
Acabo de salir de una charla de Misha Polyak sobre generalizaciones de una fórmula de diagrama de flecha para los coeficientes del polinomio de Conway de Chmutov, Khoury y Rossi . En él, describía cómo obtener fórmulas para un polinomio de Conway de enlaces de cuerdas, enlaces de cuerdas en superficies abiertas-cerradas, etc. Estas fórmulas no dan generalizaciones de la Polinomio de Alexander . Esto es curioso, porque siempre pensé que el polinomio de Alexander y el Polinomio de Conway eran básicamente iguales, pero resulta que no es así en absoluto, filosóficamente.
Fondo :
El polinomio de Alexander es un invariante topológico de los nudos. Es un polinomio palindrómico en t y t -1 que pueden verse como representaciones de las transformaciones de la cubierta cíclica infinita del complemento. La homología flotante de nudos lo categoriza. Existe una versión multivariable para enlaces.
El polinomio de Conway de un nudo se obtiene a partir del polinomio de Alexander mediante un cambio de variables (véase la página de wikipedia para más detalles). Es un polinomio honesto, que satisface una relación de madeja particularmente satisfactoria. No se conoce ningún análogo para los enlaces, aunque Misha mencionó alguna tesis reciente que da resultados parciales en esta dirección. Su categorización parece ser desconocida, y Misha sugirió que una solución a este problema conduciría a una categorización del número de enlace.
Mi pregunta :
¿En qué se diferencian estos dos invariantes de nudo, más allá de lo que he dicho más arriba? ¿Por qué uno es "mejor" que el otro? ¿Qué se supone que mide el polinomio de Conway?
