Usando la notación estándar para una función hipergeométrica generalizada, dado un entero no negativo $p$, defina:
$\mathcal{G}_{p}\left(x\right)={}_{p}F_{p}\left(\underbrace{\frac{1}{2},...,\frac{1}{2}}_{p\textrm{ veces}};\underbrace{\frac{3}{2},...,\frac{3}{2}}_{p\textrm{ veces}};-x^{2}\right)$
para todo $x$ (en $\mathbb{R}$, o en $\mathbb{C}$). Es decir (como se puede mostrar fácilmente):
$\mathcal{G}_{p}\left(x\right)=3^{p}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}\frac{x^{2n}}{\left(2n+3\right)^{p}}$
Esta función es integrable de la mejor manera posible (es una función de Schwartz, decrece rápidamente, etc., etc...) y es analítica en todas partes.
Me gustaría poder encontrar las transformadas de Laplace ($\mathcal{L}\left\{ \mathcal{G}_{p}\right\} \left(s\right)$) de los $\mathcal{G}_{p}$ para cada $p$. Como mínimo, quiero una expresión en forma cerrada para el valor de las transformadas de Laplace en $s=1$; es decir, el valor de la integral:
$\int_{0}^{\infty}\mathcal{G}_{p}\left(x\right)e^{-x}dx$
No puedo hacer esta integración término por término, ya que conduce a una serie divergente (y no es válida, debido a la ausencia de convergencia uniforme de la integrando para $x\in\mathbb{R}\geq0$).
¿Alguna idea?
