Cómo hallar los campos vectoriales relacionados con f

Question

Digamos que tenemos un campo vectorial $X = (2x+y) \partial x + x \partial y$ y un difeomorfismo $f(x,y) = (x-2y,2x+y)$ entonces necesito saber cómo encontrar los campos vectoriales de X relacionados con f, digamos $\overline{X}$ . Es decir, los que se reúnen:

$\overline{X} \circ f = \partial f \circ X \Rightarrow \overline{X} = \partial f \circ X \circ f^{-1}$

Desde $f^{-1} = \left(\frac{x+2y}{5},\frac{y-2x}{5}\right)$

$X \circ f^{-1} = \left[2(x \circ f^{-1})+(y \circ f^{-1})\right] \partial (x \circ f^{-1}) + \left[x \circ f^{-1}\right] \partial (y \circ f^{-1}) = \left[2(\frac{x+2y}{5})+(\frac{y-2x}{5})\right] \partial (\frac{x+2y}{5}) + \left[\frac{x+2y}{5}\right] \partial (\frac{y-2x}{5}) = y (\frac{1}{5}\partial x +\frac{2}{5}\partial y) + \left[\frac{x+2y}{5}\right] (-\frac{2}{5}\partial x +\frac{1}{5}\partial y) = \frac{y-2x}{25}\partial x + \frac{12y+x}{25}\partial y$

Y como $\partial f = (\partial x -2 \partial y , 2 \partial x +\partial y)$

$\overline{X} = \partial f \circ X \circ f^{-1} = (\partial x -2 \partial y , 2 \partial x +\partial y) \circ \left(\frac{y-2x}{25}\partial x + \frac{12y+x}{25}\partial y\right)$

Y la composición anterior daría un objeto de dos componentes, que difiere de lo que yo intentaba obtener, un campo vectorial.

Por favor, díganme cómo enfocar esto.

Edita1: Así que he visto que tenía dos errores principales en lo que he presentado anteriormente.

• El primer error es que no se $\partial f$ pero $d f$ que corresponde a la matriz jacobiana.

• El otro error estaba relacionado con $(x \circ f^{-1})$ y $(y \circ f^{-1})$

Así que la forma correcta de resolver el problema sería:

$\overline{X} \circ f = d f \circ X \Rightarrow \overline{X} = d f \circ X \circ f^{-1}$

Desde $f^{-1} = \left(\frac{x+2y}{5},\frac{y-2x}{5}\right)$

$X \circ f^{-1} = \left[2(x \circ f^{-1})+(y \circ f^{-1})\right] \partial x + \left[x \circ f^{-1}\right] \partial y = \left[2(\frac{x+2y}{5})+(\frac{y-2x}{5})\right] \partial x + \left[\frac{x+2y}{5}\right] \partial y = y \partial x + \frac{x+2y}{5}\partial y $

Y el resultado anterior puede verse como el vector columna $\begin{pmatrix}y \\ \frac{x+2y}{5} \end{pmatrix}$

Y como $d f =\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y}\\\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -2\\2 & 1\end{pmatrix}$

$\overline{X} = d f \circ X \circ f^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -2\\2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y \\ \frac{x+2y}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y-2x}{5} \\ \frac{x+12y}{5} \end{pmatrix} = \frac{y-2x}{5}\partial x + \frac{x+12y}{5} \partial y$

Answer 1

Utilizaré la notación de Introducción a los colectores (segunda edición) escrito por Loring W.Tu (en particular, el capítulo uno), de modo que $$X = (2x+y) \frac{\partial}{\partial x} + x \frac{\partial}{\partial y}$$

Un campo vectorial $\overline{X}$ es $f$ -en relación con $X$ sólo si $f_{*}X=\overline{X}$ . Más concretamente, $f_{*, ~p}(X_p) = \overline{X}_{f(p)}$ para cada punto $p$ en el ámbito de $X$ . En nuestro caso, $\overline{X}_q=f_{*, ~p}(X_{p})$ donde $p=f^{-1}(q)$ .

Tenga en cuenta que \begin{align} \ f_* = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1\end{bmatrix} \end{align}

en el sentido de que $$f_{*} \left( \frac{\partial}{\partial x}\bigg|_{p} \right) = \frac{\partial}{\partial x}\bigg|_{q} + 2\frac{\partial}{\partial y}\bigg|_{q} $$ $$f_{*} \left( \frac{\partial}{\partial y}\bigg|_{p} \right) = -2\frac{\partial}{\partial x}\bigg|_{q} +\frac{\partial}{\partial y}\bigg|_{q} $$

Escriba a $$\overline{X}=f(x,y)\frac{\partial}{\partial x}+g(x,y)\frac{\partial}{\partial y} $$

Ponga $q=(a,b)$ . Entonces $$\overline{X}_{q}=f(a,b)\frac{\partial}{\partial x}\bigg|_{q} +g(a,b)\frac{\partial}{\partial y} \bigg|_{q}$$

Por otro lado, $p=f^{-1}(q)=\frac{1}{5}(a+2b, b-2a )$ .

Así \begin{align} X_p &= \left( \frac{ 2a+4b+b-2a}{5} \right) \frac{\partial}{\partial x}\bigg|_{p} + \left( \frac { a+2b }{5} \right)\frac{\partial}{\partial y}\bigg|_{p} \\ &=b \frac{\partial}{\partial x}\bigg|_{p} + \left( \frac { a+2b }{5} \right)\frac{\partial}{\partial y}\bigg|_{p}\end{align}

Por fin, \begin{align} f_{*, ~p}(X_p) &=b \left(\frac{\partial}{\partial x}\bigg|_{q} + 2\frac{\partial}{\partial y}\bigg|_{q} \right)+ \left( \frac { a+2b }{5} \right) \left( -2\frac{\partial}{\partial x}\bigg|_{q} +\frac{\partial}{\partial y}\bigg|_{q}\right) \\ &= \left( \frac { -2a+b }{5} \right) \frac{\partial}{\partial x}\bigg|_{q} + \left( \frac { a+12b }{5} \right) \frac{\partial}{\partial y}\bigg|_{q} \end{align}

Por lo tanto, $f(a,b) = \frac{1}{5}(-2a+b) $ y $g(a, b)= \frac{1}{5}(a+12b)$ .

Resumiendo, $$\overline{X}= \left( \frac { -2x+y }{5} \right)\frac{\partial}{\partial x} +\left( \frac { x+12y }{5} \right)\frac{\partial}{\partial y}$$