Derivada de la integral en una dirección

Question

Supongamos que tengo un campo escalar 3D $\phi(x,y,z)$ donde $x,y,z$ son coordenadas cartesianas en $\mathbb{R}^3$ . Puedo definir otro campo 3D, que es la integral del campo con respecto a una dimensión

$$ \Phi(x,y,z) = \int_{z}^{\eta} \phi(x,y,z^\prime) \,d z^\prime$$

Esto tiene la interpretación de integrar desde una profundidad $z$ a una superficie $\eta$ donde $\eta(x,y)$ es conocida y fija para cada $x$ y $y$ . Si $\phi$ tiene la interpretación de una densidad*gravedad, esto es algo así como el peso de un material por encima de un punto en el espacio. Me interesan 3 preguntas:

1. Qué es la derivada parcial $\frac{\partial}{\partial z} \Phi = \frac{\partial}{\partial z} \int_{z}^{\eta} \phi(x,y,z^\prime) \,d z^\prime$ ?
2. Cuál es la derivada total $\frac{d}{dz} \Phi = \frac{d}{dz} \int_{z}^{\eta} \phi(x,y,z^\prime) \,d z^\prime$ ? ¿Es lo mismo que la derivada parcial en este caso?
3. ¿Cómo podría escribir la línea integral $\Phi(z)$ (desde una profundidad $z$ hacia arriba, es decir, desde $(x_0,y_0,z)\to(x_0,y_0,\eta)$ ) como una integral de volumen sobre las 3 coordenadas espaciales? Algo así como $\Phi(z) = \int_{z}^{\eta}\int_{A} \phi(x,y,z^\prime) D(x,y,z)\,dA \,dz^\prime$ donde $D(x,y,z)$ es algo así como una función delta. Lo pregunto porque necesito aproximar la integral sobre bloques 3D predefinidos donde conozco reglas de cuadratura 3D.

Agradecería cualquier aclaración sobre cualquiera de las 3 preguntas.

edit: cambiado el orden de las preguntas para preguntar primero la derivada parcial

Answer 1

1)) Si para $x$ y $y$ , $f(z)=\phi(x,y,z)$ es una función continua de $z$ entonces para cualquier primitiva $F(z)$ de $f(z)$ tenemos $$\Phi(x,y,z)=\int_{z}^{\eta} \phi(x,y,z^\prime) \,d z^\prime=F(\eta)-F(z)$$ mediante la fórmula de Newton-Leibnitz. Entonces $$\frac{\partial}{\partial z} \Phi(x,y,z)=(F(\eta)-F(z))’=-f(z)=-\phi(x,y,z).$$