Demostrar que $$\sum_{i=n}^{2n} \frac{|\sin(i)|}{i}>\frac{1}{6}$$ para $n\in\mathbb{N}$ . (Considere $n$ para ser radianes).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mediante series de Fourier tenemos que
$$ |\sin x|=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum_{m\geq 1}\frac{\cos(2mx)}{4m^2-1}=\frac{8}{\pi}\sum_{m\geq 1}\frac{\sin^2(mx)}{4m^2-1}\tag{A} $$ uniformemente sobre la recta real. Una consecuencia directa es $$ |\sin x| \geq \frac{2}{\pi}\sum_{m\geq 1}\frac{\sin^2(mx)}{m^2} \tag{B}$$ así como $$ \sum_{x=n}^{2n}\frac{|\sin x|}{x}\geq \frac{2}{\pi}\sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^2}\sum_{x=n}^{2n}\frac{\sin^2(mx)}{x}\geq\sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^2}\cdot\frac{1}{\pi n}\sum_{x=n}^{2n}\sin^2(mx). \tag{C}$$ Por otra parte $$ \sum_{x=n}^{2n}\sin^2(mx)=\frac{n+1}{2}-\frac{\sin(m(n+1))\cos(3mn)}{\sin(m)}\geq\frac{n}{2}+\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{|\sin m|}\right] $$ por lo que truncando la RHS de $(C)$ en $m=2$ tenemos $$ \sum_{x=n}^{2n}\frac{|\sin x|}{x}\geq \frac{5}{8\pi}-\frac{3}{11n}\tag{D} $$ y su desigualdad se cumple para cualquier $n\geq 9$ . Los demás casos pueden comprobarse a mano.
Dado que el valor medio de $|\sin x|$ es $\frac{2}{\pi}$ y $\sum_{x=n}^{2n}\frac{1}{x}$ converge a $\log(2)$ se espera que la suma dada oscile en torno a $\frac{2}{\pi}\log(2)\approx 0.441271\gg\frac{1}{6}$ para cualquier $n$ lo suficientemente grande.
