El espacio $\psi$

Question

¿Es el espacio $\psi$ (descrito en el problema 5I de L. Gillman y M. Jerison, Rings of continuous functions, Springer Verlag, 1976 ) un espacio F-Z (es decir, un espacio con $cl(X-Z(f))$ es un conjunto cero para cada $f$ en $C(X)$ )?

$\textbf{Clarification}$ Una colección $\mathcal{A}$ de subconjuntos infinitos de $\mathbb{N}$ se dice que es una familia casi disjunta si $R\cap S$ es finito siempre que $R,S\in\mathcal{A}$ y $R\neq S$ .

Sea $\mathcal{E}$ sea una familia máxima casi disjunta de subconjuntos de $\mathbb{N}$ . Sea $D=(w_{E})_{E\in\mathcal{E}}$ sea un conjunto de nuevos puntos distintos. Sea $\psi=\mathbb{N}\cup D$ . Daremos $\psi$ la topología como sigue. Los puntos de $\mathbb{N}$ están aislados. El filtro de vecindad alrededor de un punto $w_{E}$ está generado por conjuntos de la forma $w_{E}\cup R$ donde $R\subseteq E$ y $E\setminus R$ es un conjunto finito. En este espacio, $w_{E}\cup E$ es la compactificación de un punto del espacio $E$ .

El problema del libro dice que el espacio $\psi$ es completamente regular, pseudocompacta, pero no contablemente compacta. En particular, $\psi$ no es realmente compacto y $\psi$ no es normal. Además, todo subespacio de $\psi$ es un $G_{\delta}$ -set.

Answer 1

Como he comentado anteriormente, creo que la respuesta es que un $\psi$ -no tiene por qué ser un espacio FZ, y que se puede construir un contraejemplo a partir de una brecha de Luzin. He aquí los detalles, que no cabían en el comentario.

Primero construimos la familia MAD, que dará el contraejemplo. Empezaremos dividiendo ${\mathbb N}$ en dos conjuntos infinitos $X_0,X_1$ . Entonces ${\mathcal A}_0=\{A^0_\alpha:\alpha<\omega_1\}$ sea una familia AD arbitraria en $X_0$ y ${\mathcal A_1}=\{A^1_\alpha:\alpha<\omega_1\}$ un hueco Luzin en $X_1$ (es decir, una familia AD que, en particular, tiene la propiedad de que ningún par incontable de subfamilias puede separarse; aquí ${\mathcal B},{\mathcal C}\subseteq{\mathcal A}_1$ pueden separarse si existe un conjunto $S\subseteq X_1$ que casi contiene todos los conjuntos de $B$ y es casi disjunta de todos los conjuntos de $C$ .).

Fusionaremos estas dos familias en una nueva familia AD que ampliaremos a una familia MAD. Procederemos del siguiente modo: para $\alpha<\omega_1$ deje $A_\alpha=A^0_\alpha\cup A^1_{\alpha+1}$ y que $\{B_\alpha:\alpha<\omega_1\}$ sea la enumeración de $\{A^1_\beta:\beta\in Lim(\omega_1)\}$ . Sea ${\mathcal A}$ es una familia MAD arbitraria que amplía la familia $\{A_\alpha,B_\alpha:\alpha<\omega_1\}$ .

Propuesta El espacio $\psi({\mathcal A})$ no es un espacio FZ.

Nota A continuación identificamos los puntos de $\psi({\mathcal A})={\mathbb N}\cup D$ que se encuentran en $D$ con los elementos de la familia MAD ${\mathcal A}$ .

Prueba . Defina $f:\psi({\mathcal A})\to{\mathbb R}$ como sigue: $f(n)=1/n$ para $n\in X_0$ y $f(x)=0$ de lo contrario. Es evidente que $f$ es continua. Sea $G=\psi(\mathcal{A})\setminus f^{-1}(0) = X_0$ . Para demostrar que $\psi({\mathcal A})$ no es un espacio FZ bastará con demostrar que $F=cl(G)$ no es un conjunto cero. Obsérvese en primer lugar que para cada $\alpha<\omega_1$ tenemos $A_\alpha\in F$ y $B_\alpha\not\in F$ . Supongamos ahora que $g:\psi({\mathcal A})\to{\mathbb R}$ es una función continua tal que $g^{-1}(0)=F$ . Desde $B_\alpha\not\in F$ para cada $\alpha<\omega_1$ podemos arreglar $n<\omega$ tal que ${\mathcal B}=\{B_\alpha:g(B_\alpha)>1/n\}\subseteq{\mathcal A}_1$ es incontable. Ahora dejemos que $S=\{k<\omega:g(k)>1/n\}$ . Entonces $S$ contiene casi todos los conjuntos de ${\mathcal B}$ mientras que, por continuidad de $g$ que son casi disjuntos de todos los conjuntos de $\{A_\alpha:\alpha<\omega_1\}$ por lo tanto también de cada conjunto en ${\mathcal C}=\{A^1_{\alpha+1}:\alpha<\omega_1\}\subseteq{\mathcal A}_1$ . Esto contradice el hecho de que ${\mathcal A}_1$ es un vacío de Luzin, ya que $S$ separa las dos subfamilias incontables ${\mathcal B,C}\subseteq{\mathcal A}_1$ . $\square$