Sistema de coordenadas curvilíneas alrededor del cuerpo de revolución

Question

En Teoría de la capa límite de Schlichting da las ecuaciones de la capa límite para un cuerpo de revolución según el trabajo de Boltze $^1$ . Lamentablemente, este documento está en alemán. Al parecer, utiliza el siguiente sistema de coordenadas curvilíneas locales para derivar las ecuaciones de la capa límite:

No estoy específicamente interesado en derivar las ecuaciones de la capa límite para un cuerpo de revolución, sin embargo, estoy trabajando en un problema con una geometría muy similar y estoy teniendo problemas para envolver mi cabeza alrededor del sistema de coordenadas.

Pregunta:

Para los vectores de base localmente ortogonales $\mathbf{e}_x$ , $\mathbf{e}_y$ y $\mathbf{e}_\theta$ ¿Cuáles son los gradiente , divergencia y Laplaciano ¿operadores?

Esto es lo que he probado:

$$x = \hat{x}$$ $$y = \hat{y}$$ $$r(x)\cos\theta = \hat{z}$$

donde $\hat{x}$ , $\hat{y}$ y $\hat{z}$ son coordenadas en un sistema cartesiano con el mismo origen. Los coeficientes de Lamé son entonces:

$$h_x = \left\vert\left(\frac{\partial \hat{x}}{\partial x}, \frac{\partial \hat{y}}{\partial x}, \frac{\partial \hat{z}}{\partial x}\right)\right\vert = 1$$ $$h_y = \left\vert\left(\frac{\partial \hat{x}}{\partial y}, \frac{\partial \hat{y}}{\partial y}, \frac{\partial \hat{z}}{\partial y}\right)\right\vert = 1$$ $$h_\theta = \left\vert\left(\frac{\partial \hat{x}}{\partial \theta}, \frac{\partial \hat{y}}{\partial \theta}, \frac{\partial \hat{z}}{\partial \theta}\right)\right\vert = \left\vert r(x)\sin\theta\right\vert$$

Con estos coeficientes es sencillo definir los operadores ya que este sistema es ortogonal (por ejemplo aquí son las fórmulas).

Sin embargo, no creo que los resultados anteriores sean correctos, ya que se compara con un sistema cartesiano local en cada punto. ¿Cuáles son las transformaciones correctas?

1. Boltze, Ernst. Capas límite en cuerpos de revolución en fluidos con pequeña fricción. Georg-August-Universitat zu Gottingen, 1908.

ACTUALIZACIÓN:

Para cualquier futuro Googler, la transformación correcta es: (basado en la Fig. 4 de la respuesta de @Floris, $\xi$ está alineado con $U_\infty$ en la imagen de arriba)

$$\xi = x\cos\phi - y\sin\phi$$ $$\eta = -(r(\xi) + y\cos\phi + x\sin\phi)\sin\theta$$ $$\zeta = (r(\xi) + y\cos\phi + x\sin\phi)\cos\theta$$

donde $\phi$ es el ángulo local del cuerpo con respecto al eje de rotación, es decir $\phi = arctan(\frac{dr}{dx})$ . El artículo de Boltze parte de la base de que este ángulo es pequeño. El Jacobiano es entonces:

$$J = r(\xi) + y\cos\phi + x\sin\phi$$

que es equivalente al valor de Boltze para pequeños $\phi$ y $y \ll r(\xi)$ . Y los coeficientes de Lamé son:

$$h_x = 1$$ $$h_y = 1$$ $$h_\theta = r(\xi) + y\cos\phi + x\sin\phi$$

Answer 1

Encontré el texto original en http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.b2619178 (a partir de la página 5). Las páginas pertinentes y la traducción clave (cada vez antepongo la página a la traducción - y repetiré instantáneas de ecuaciones en la traducción cuando proceda):

1) Contrariamente al trabajo de H Blasius, en este trabajo tratamos el problema de un cuerpo de revolución con su eje a lo largo de la dirección de la corriente. Es conveniente utilizar el siguiente sistema de coordenadas para la capa límite (figura 2)

x = arc length along meridian curve
y = normal distance from the surface of the body
r = vertical distance to axis of rotation. r is a function of x and y, 
   but ultimately is only used as a way to describe the radius of the body of rotation.

2) Debemos transformar las ecuaciones hidrodinámicas básicas en este marco. En el marco de Cartesion, son (en notación vectorial)

Transformación de los componentes de aceleración $(\upsilon\nabla)\upsilon$ da lugar a componentes como $u\frac{du}{dx}$ , $v\frac{du}{dy}$ etc., así como fuerzas centrífugas como $\frac{u.v}{r}$ y $\frac{u^2}{r}$ . Los componentes que aparecen en la expresión para los componentes x pueden omitirse ya que son de orden $s$ en comparación con otros componentes como $u\frac{du}{cx}+v\frac{du}{dy} \sim 1$

La fuerza cortante resultante, según la figura 3, es

Así que

Así, de la ecuación dinámica para la dirección x queda lo siguiente:

Estimando el orden de magnitud de la ecuación Y se obtiene $\frac{\partial p}{\partial y} \sim \frac{u^2}{r} \sim 1$

De ello se deduce que $\frac{\partial p}{\partial x}$ en la capa límite difiere de $\frac{\partial p}{\partial x}$ en el campo de flujo potencial en un orden de $s$ que no tendremos en cuenta ya que sólo preservamos componentes $\sim 1$ . Entonces podemos utilizar $\frac{\partial p}{\partial x}$ que se calculó en el campo de flujo potencial para la capa límite. Con ello, la ecuación y ha quedado totalmente agotada para nuestro uso -sólo podría servir para cálculos más sutiles de $p$ en la capa límite.

3. Queremos escribir la ecuación de continuidad:

Donde por un momento consideramos $\xi, \eta$ y $\zeta$ como coordenadas rectangulares. A continuación, tomamos la transformación muy general $$\xi=\xi(x,y,z); \eta=\eta(x,y,z); \zeta=\zeta(x,y,z);$$

Por cálculo elemental, se encuentra la nueva ecuación de continuidad, en la que :

La expresión así encontrada es válida en general.

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Lo hice lo mejor que pude. No responde exactamente a tu pregunta, pero espero que te sirva. No dudes en hacer preguntas en los comentarios.