Valor máximo de $ x^2 + y^2 $ dado $4 x^4 + 9 y^4 = 64$

Question

Se da la circunstancia de que $4 x^4 + 9 y^4 = 64$ .

Entonces, ¿cuál será el valor máximo de $x^2 + y^2$ ?

Lo he hecho utilizando los lados de un triángulo rectángulo be $2x , 3y $ y la hipotenusa como 8 .

Answer 1

Si $64= (3y^2)^2 + 4x^4$ entonces $3y^2 =\sqrt{ 64 - 4x^4}$ . Conectando eso a $x^2+y^2$ obtenemos: $$x^2+\frac{\sqrt{64 - 4x^4}}{3}.$$

Ahora tienes que maximizar una función de una variable. Recuerda que si $64 = 4x^4+9y^4$ entonces (fijando $y = 0$ ) obtenemos $16 \ge x^4$ Por lo tanto $|x| \le 2$ .

Answer 2

$x^2=s,\ y^2=t \geq 0$ entonces $$ (2s)^2+ (3t)^2=8^2 \Rightarrow 2s=4\cos\ \theta,\ 3t=4\sin\ \theta,\ 0\leq\theta \leq \frac{\pi}{2} $$

Entonces $$ s+t=2\cos\ \theta + \frac{4}{3}\sin\ \theta=\sqrt{2^2+ \bigg(\frac{4}{3}\bigg)^2} \sin\ (\theta+\alpha),\ 0< \alpha < \frac{\pi}{2} $$

Sea $\theta =\frac{\pi}{2}-\alpha$

Answer 3

Sin utilizar multiplicadores de Lagrange

Equivale a encontrar $x$ que maximiza

$$f(x)=x^2+\frac23\sqrt{16-x^4}$$

Usted tiene

$$f'(x)=2x-\frac13\frac{4x^3}{\sqrt{16-x^4}}$$

Por lo tanto $f'(x)=0$ si $x=0$ o

$$\frac{2x^2}{\sqrt{16-x^4}}=3$$ $$2x^2=3\sqrt{16-x^4}$$ $$4x^4=9(16-x^4)$$ $$13x^4=12^2$$ $$x=\pm2\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[4]{13}}$$

Sea $x_0=2\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt[4]{13}}$ . Desde $x$ sólo aparece con potencias pares, el signo no es importante. Y tiene

$$f(0)=\frac83$$ $$f(x_0)=\frac{12}{\sqrt{13}}+\frac{2}{3}\sqrt{16-\frac{16\times 9}{13}}$$ $$=\frac{12}{\sqrt{13}}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{64}{13}}=\frac{12+\frac{16}{3}}{\sqrt{13}}=\frac{4\times13}{3\sqrt{13}}=\frac{4}{3}\sqrt{13}$$

Y esto es más grande que $f(0)$ desde

$$f(0)^2-f(x_0)^2=\frac{16\times4}{9}-\frac{16\times13\times3}{9}$$

Así, el máximo se encuentra para $x=\pm x_0$ y

$$y^4=\frac{1}{9}\left(64-4x_0^4\right)=\frac{1}{9}\left(64-4\frac{16\times 9}{13}\right)=\frac{64}{9}\left(1-\frac{9}{13}\right)=\frac{64\times4}{9\times13}$$

Por lo tanto

$$y=\pm \frac{4}{\sqrt{3}\sqrt[4]{13}}$$

Answer 4

Ya que has etiquetado a los multiplicadores de Lagrange, utilizaré ese método.

Permitir que $F(x,y) = 4x^4+9y^4-64$ y $G(x,y)=x^2+y^2-C$ donde $C$ se trata como una constante y es el máximo que se desea encontrar.

Permitimos que $\nabla F(x,y) = \lambda \nabla G(x,y)$ y hallar dos nuevas ecuaciones:

$16x^3 = \lambda 2x$ y $36y^3 = \lambda 2y$

$\implies x^4 = \frac{\lambda ^2}{64}$ y $y^4 = \frac{\lambda ^2}{324}$ .

Conectándolos a $F(x,y)$ encontramos que:

$$\lambda = 26.6256...$$

Ahora volvemos a nuestras ecuaciones después de aplicar el gradiente y resolvemos para $x_{max}$ y $y_{max}$ . Tenemos: $x_{max}=1.8245...$ y $y_{max}=1.21622...$

Introduciendo esto en $x^2+y^2$ obtenemos el máximo, $4.80727$ .

Answer 5

Una puñalada más al problema. En lugar de trabajar con $x$ trabajemos con $u = x^2$ ya que facilita ligeramente el álgebra.

En $4x^4 + 9y^4 = 64$ tenemos $y^2 = \frac{1}{3}\sqrt{64-4u^2}$ tomando sólo las raíces cuadradas positivas como $y^2 \geq 0$ . Por lo tanto, queremos maximizar

$$f(u) = x^2 + y^2 = u + y^2 = u + \frac{1}{3}\sqrt{64-4u^2}$$

Establecer la primera derivada igual a cero,

$$0 = \frac{df}{du} = 1 - \frac{4}{3}u \frac{1}{\sqrt{64-4u^2}}$$

$$\Longrightarrow \ 64 - 4u^2 = \frac{16}{9}u^2 \hspace{30 mm}$$

$$\Longrightarrow \ \ u^2 = \frac{9}{52}\cdot 64 \ \ \text{ i.e., } u = \frac{12}{\sqrt{13}} \hspace{10 mm}$$

(En el último paso tomamos sólo la raíz cuadrada positiva, ya que $u = x^2 \geq 0$ .)

Utilizando la expresión anterior para $y^2$ encontramos para $u = x^2 = \frac{12}{\sqrt{13}}$ que

$$y^2 = \frac{1}{3}\sqrt{64 - 4\cdot \frac{144}{13}} = \frac{16}{3\sqrt{13}}$$

Por lo tanto

$$x^2 + y^2 = \frac{12}{\sqrt{13}} + \frac{16}{3\sqrt{13}} = \frac{52}{3\sqrt{13}} = \frac{4}{3}\sqrt{13}$$

Se trata de un máximo, ya que existen otros puntos que satisfacen la restricción para los que $x^2 + y^2 < \frac{4}{3}\sqrt{13}$ . Por ejemplo, para $(x,y) = (2,0)$ , $$x^2 + y^2 = 2^2 + 0^2 = 4 < \frac{4}{3}\sqrt{13} \ \text{ as } 16 < \frac{16}{9}\cdot 13$$