Resto de la división $x^{137}+x+1$ por $x+5$

Question

En $\mathbb{Z}_7[x]$ ¿cuál es el resto de dividir $x^{137}+x+1$ por $x+5$ ?

No encuentro cómo resolver este problema de aritmética modular. Alguien me podría decir sólo como proceder a resolver este ejercicio?

Answer 1

El teorema del resto todavía funciona, así que es igual a $(-5)^{137} + (-5) + 1 \mod 7$ .

Answer 2

El pequeño teorema de Fermat dice que, modulo $7$ , $x^7 \equiv x$ para todos $x \in \mathbb{Z}$ . Eso le proporciona un método sencillo para reducir las potencias: $x^{137} \equiv x^{131} \equiv x^{125} \equiv \cdots x^{5}$ . Eso lo reduce a un problema más simple. Combina esto con la solución de Matt Rigby y el problema debería ser bastante fácil de terminar.

Answer 3

Sobre cualquier anillo, el polinomio $x-a$ divide $x^n-a^n$ para todos los números naturales $n$ Entonces, para nuestro caso, tendremos $$x+5\ \mid\ \left(x^{137}-(-5)^{137}\ +\ x-(-5)\ +\ 1-1\right) $$ Utilizando la notación de congruencia, esto es $$x^{137} + x + 1 \equiv (-5)^{137}+(-5)+1 \pmod{x+5}\,.$$ Obsérvese que, efectivamente, esperamos un constante polinomio como resto, ya que debe tener estrictamente menos grado que el divisor.

Observe también que $-5$ puede sustituirse por $2$ mientras trabajamos sobre $\Bbb Z_7$ .