¿Cómo encontrar el dominio de definición de la solución?

Question

Para el problema de valor inicial dado: $$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{\left(y+2\right)^{2}}, \quad y(0)=1$$ se nos pide que lo resolvamos y luego que enunciemos el dominio de definición de la solución. Así que en primer lugar separé las variables y apliqué la condición inicial y obtuve: $$y(t)=\left(3t+27\right)^{1/3}-2$$

pero ahora no puedo entender por qué la solución sólo existe cuando $t>-9$ ? Me cuesta entender también qué tiene que ver esto con $\dfrac{dy}{dt}$ al no estar definido en $y=-2$ . ¿Por qué dejamos que $$3t+27 >0 $$

¿Y si $t=-10$ ? ¿cómo hace esto $y$ ¿indefinido?

Answer 1

$$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{\left(y+2\right)^{2}}$$ $$t=\int (y+2)^2dy=\frac13 (y+2)^3 +c$$ Estado : $t(1)=0=\frac13 (1+2)^3 +c \quad\implies\quad c=-9 $ $$t=\frac13 (y+2)^3-9$$ Para $y$ y $t$ reales esto implica $t>-9$ .

Si el problema es de Física la velocidad $y'(t)$ es infinito en $(t=-9\:,\:y=-2)$ . Esto excluye la rama $y\leq -2$ .

Answer 2

Tal vez no se diga con suficiente claridad, pero en la teoría estándar de las EDO, en la que la "O" significa "ordinaria", se supone que el dominio de la EDO es un conjunto abierto que se elige de forma que el lado derecho exista y sea continuo en todas las variables. Una solución es entonces una función continuamente diferenciable con una gráfica dentro de ese conjunto.

En este caso, esto significa que la línea $y=-2$ es una frontera del dominio, y como la condición inicial es $y(0)=1$ el dominio es la parte superior $\{(x,y):y>-2\}$ . Como has calculado, la solución sólo permanece dentro de este dominio para $t>-9$ . No puede haber más solución en el contexto dado.

Ahora, por supuesto, es muy posible considerar límites de la solución en la frontera, y soluciones en el segundo dominio $\{(x,y):y<-2\}$ pares de soluciones que se pueden unir en la frontera, o que resultan de la misma expresión algebraica. Pero se trata de conceptos de solución ampliados, que deben solicitarse explícitamente.