Encontrar un límite para $\sum_{\text{cyc}}\frac{\sin B+\sin C}A$ si $\triangle ABC$ no es obtuso.

Question

La siguiente pregunta apareció en un simulacro de examen JEE celebrado hace dos días.

Pregunta:

$\triangle ABC$ no es obtuso, entonces el valor de $\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\frac{\sin B+\sin C}A$ debe ser mayor que

• A) $\frac6\pi$
• B) $3$
• C) $\frac{12}\pi$
• D) $\frac1\pi$

Mi intento:

Primero probé con la regla sinusoidal $$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}$$

Pero no pude hacer nada con él.

Luego utilicé $\sin B+\sin C=2\sin\left(\frac{B+C}2\right)\cos\left(\frac{B-C}2\right)=2\cos\frac A2\cos\left(\frac{B-C}2\right)$

Pero tampoco pude terminar este planteamiento.

Entonces intenté utilizar la desigualdad de Jensen, pero fue en vano.

Entonces se me ocurrió suponer una función y encontrar su valor mínimo. Pero no podía decidir qué función tomar.

Answer 1

Otra respuesta, esta vez elemental. Hacer que todo tenga como denominador común $ABC$ . Entonces la suma es

$BC\dfrac{\sin B+\sin C}{ABC}$ + $AC\dfrac{\sin C+\sin A}{ABC}$ + $AB\dfrac{\sin A+\sin B}{ABC}$ $(1)$

Ahora observe que la función $\,\,\dfrac{\sin x}{x}$ es estrictamente decreciente en $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ . (Cálculo elemental). Por lo tanto

$\dfrac{\sin A}{A}\geq\dfrac{2}{\pi}$ . Igualmente para $B,C$ . Entonces $(1)$ da que la suma es

$\geq$

$\dfrac{B}{A}$$ \dfrac{2}{\pi}$ + $\dfrac{C}{A}.\dfrac{2}{\pi}$ +...... $\geq\,6\dfrac{2}{\pi}$ = $\dfrac{12}{\pi}$ .

(Porque $\dfrac{A}{B}+\dfrac{B}{A}\,\geq\,2$ para cualquier $A,B.$ )

Esto NO proporciona un mínimo sino que da una de las respuestas (¡¡¡y por tanto todas las demás son correctas!!!).

Answer 2

Para un examen, intentaría primero un caso trivial, $A=B=C=\frac\pi 3$ . Entonces $\sin A=\frac{\sqrt 3}2$ Así que $$\sum_{cyc}\frac{\sin B+\sin C}{A}=3\frac{2\sin A}{A}=\frac{9\sqrt 3}\pi$$ El mayor valor de sus opciones es $\frac{12}{\pi}$ que es menor que el valor anterior. Así que la respuesta es C

Answer 3

Una respuesta anterior es correcta, ¡pero no es una prueba! ¡Hay muchas formas de obtener un mínimo! La más sencilla es establecer $A=x, B=y, \,\,C=\pi-x-y$ e intentar minimizar la función

$f(x,y)=\dfrac{siny+sin(\pi-x-y)}{x}+\dfrac{sin(\pi-x-y)+sinx}{y}+\dfrac{sinx+siny}{\pi-x-y}$ .

Tomando derivadas parciales obtenemos:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}$ = $-\dfrac{1}{x^{2}}(siny+sin(x+y))+\dfrac{1}{x}cos(x+y)+\dfrac{1}{y}(cos(x+y)+cosx)+\dfrac{cosx(\pi-x-y)+sinx+siny}{(\pi-x-y)^{2}}=0$

y lo mismo para $\,\,\dfrac{\partial f}{\partial y}$ . Ahora es el momento de utilizar nuestra intuición y ver que $x=\dfrac{\pi}{3}$ y $y=\dfrac{\pi}{3}$ son soluciones del sistema y, por tanto, un punto estacionario. Por lo tanto, el valor de $f$ en este punto es $\,\dfrac{9\sqrt{3}}{\pi}$ y para asegurarnos de que no es un máximo utilizamos $A=\dfrac{\pi}{2}, B=\dfrac{\pi}{4}, C=\dfrac{\pi}{4}$ que da $\dfrac{8+6\sqrt{2}}{\pi}$ un valor superior a $\dfrac{9\sqrt{3}}{\pi}$ . Por lo tanto, el valor mínimo de la función es $\,\,\dfrac{9\sqrt{3}}{\pi}$ y por lo tanto todas las respuestas son correctas. Si tenemos que decidir qué valor está más cerca del mínimo, entonces es $\dfrac{12}{\pi}.$