¿Una Variety es un colector?

Question

¿Es cierto que toda variedad lisa (sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) es un colector (real o complejo)? He intentado demostrarlo utilizando el teorema de la función implícita, pero no lo consigo.

Creo que lo entiendo si tengo una variedad de intersección completa,

Si $X=V(f_{1},...,f_{m})\subset\mathbb{A}^{n+m}$ y $dimX=n$ entonces tenemos una función, $f:\mathbb{R}^{n+m}\to\mathbb{R}^{m}$ y el teorema de la función implícita da una función local $g:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ tal que $f(x,g(x))=0$ . Así, $X$ es el gráfico de $y=g(x)$ .

El problema es que esto utiliza el hecho de que $n+m$ es la dimensión del espacio ambiente.

Answer 1

Basta con trabajar con variedades afines sobre un campo $K$ (donde $K={\mathbb R}$ ou $K={\mathbb C}$ ). Trabajaré con $K={\mathbb R}$ para concretar. Sea $V\subset {\mathbb R}^N$ sea una subvariedad afín. Suavidad de $V$ significa que los generadores $f_1,...,f_n$ de su ideal $I_V$ cumplen la propiedad de que el rango $r$ de la derivada $DF$ , $F=(f_1,...,f_n)$ es constante en $V$ (es decir, el espacio tangente de Zariski de $V$ tiene dimensión constante). Ahora, apliquemos la Teorema del rango constante , ver decir, aquí ou aquí para una prueba. El teorema del rango constante establece que para cada punto $x\in V$ existe un cambio suave de coordenadas cerca de $x$ y $F(x)$ tras lo cual el mapa $F$ localmente tiene la forma $$ F(x_1,...,x_N)= (x_1,...,x_r, 0,...,0). $$ Entonces, claramente, $F^{-1}(0)$ es un submanifold liso en ${\mathbb R}^N$ de dimensión $N-r$ . Esto demuestra que $V$ es una variedad lisa (real). En el caso $K={\mathbb C}$ se utiliza la versión holomórfica del teorema de la constante de rango (demostrada de la misma manera que la real; todo lo que se necesita es el teorema de la función inversa compleja) para concluir que $V$ es un submanifold complejo.

Huelga decir que las intersecciones completas son irrelevantes en este caso.