Suma del coseno de una variable aleatoria uniforme

Question

He leído que la PDF de la suma de cosenos de una variable aleatoria, que está uniformemente distribuida, es una distribución no uniforme; algo así como raíz cuadrada inversa de la variable aleatoria. Mi duda es, sin entrar en pdf, pero simplemente si calculamos suma de cosenos de variable aleatoria que varía entre $-\pi$ a $\pi$ es decir, SUM $(\cos (t_j))$ no debería ser 0 para un gran número de valores para el $t_j$ ¿intuitivamente? Estoy confuso. Si es una pregunta válida, ¿alguien puede ayudarme? Muchas gracias.

Además, si tenemos SUM $(\cos(t_j))$ , $t_j$ es una variable aleatoria uniforme comprendida entre $-\pi$ a $\pi$ entonces introducirá la frecuencia $w$ (omega) afecta a la respuesta a la pregunta anterior? es decir, SUM $(\cos (w \cdot t_j))$ ?

Answer 1

Consideremos una serie de variables aleatorias uniformes independientes $U_1,U_2,U_3,... \sim \text{IID U}(0,1)$ y formar la serie correspondiente $X_1,X_2,X_3,...$ como:

$$X_i = \cos(\pi U_i).$$

Para todos $|x| \leqslant 1$ estas últimas variables aleatorias tienen la función de distribución

$$\begin{equation} \begin{aligned} F_X(x) = \mathbb{P}(X \leqslant x) &= \mathbb{P}(\cos(\pi U) \leqslant x) \\[6pt] &= \mathbb{P} \Big( U \geqslant \frac{1}{\pi} \cdot \arccos(x) \Big) \\[6pt] &= 1 - \frac{1}{\pi} \cdot \arccos(x), \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

y la función de densidad correspondiente:

$$\begin{equation} \begin{aligned} f_X(x) = \frac{dF_X}{dx}(x) &= -\frac{1}{\pi} \cdot \frac{d}{dx} \arccos(x) \\[6pt] &= \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Esta variable aleatoria tiene media $\mathbb{E}(X) = 0$ y varianza $\mathbb{V}(X) = \tfrac{1}{2}$ . Ahora, dejemos que $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ sea una suma parcial de estas variables, y observe que tiene media $\mathbb{E}(S_n) = 0$ y varianza $\mathbb{V}(S_n) = \tfrac{n}{2}$ . Según el teorema del límite central, la distribución límite de la suma normalizada es la distribución normal estándar. Para grandes $n$ tenemos la distribución aproximada:

$$S_n \overset{\text{Approx}}{\sim} \text{N} \Big( 0, \frac{n}{2} \Big).$$

La varianza de la suma aumenta con $n$ por lo que no hay convergencia a cero --- la suma se distribuirá alrededor de cero, pero su varianza se hace más y más grande. Sin embargo, si se observa la media muestral $\bar{X}_n = S_n/n$ , la varianza de esta última cantidad disminuye a cero, por lo que se tendrá convergencia a la media de cero. Este último resultado es una manifestación de la ley de los grandes números .

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Simulación: Podemos simular este problema en R como sigue. En este código trazamos la densidad del núcleo de $m = 10^5$ simulaciones para $n=100$ y superponemos la densidad normal como línea discontinua roja. Se puede ver que se trata de una aproximación muy cercana a la densidad del núcleo de las simulaciones.

#Simulate matrix of cosine values
set.seed(1);
m <- 10^5;
n <- 100;
U <- matrix(runif(n*m,0,1), nrow = m);
X <- cos(pi*U);

#Calculate sample total of cosine values
S <- rowSums(X);

#Create data-frame for plotting
DD <- density(S);
NN <- dnorm(DD$x, mean = 0, sd = sqrt(n/2));
GRAPH <- data.frame(S = DD$x, Density = DD$y, Approx = NN);

#Plot density of sample totals
library(ggplot2);
FIGURE <- ggplot(data = GRAPH, aes(x = S, y = Density)) +
              geom_line(size = 1) +
              geom_line(aes(y = Approx), colour = 'red', linetype = 'dashed') +
              ggtitle('Density of Sample Means of Cosine Simulations') +
              xlab('Sample Mean') + ylab('Density');
FIGURE;