Creo que es importante separar claramente la hipótesis y su correspondiente prueba. Para lo que sigue, asumo un CRF- equilibrado, entre sujetos. $pq$ diseño (tamaños de celda iguales, notación de Kirk: diseño Factorial Completamente Aleatorizado).
$Y_{ijk}$ es la observación $i$ en tratamiento $j$ del factor $A$ y tratamiento $k$ del factor $B$ con $1 \leq i \leq n$ , $1 \leq j \leq p$ y $1 \leq k \leq q$ . El modelo es $Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$
Diseño: $\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$
$\mu_{jk}$ es el valor esperado en la celda $jk$ , $\epsilon_{i(jk)}$ es el error asociado a la medición de la persona $i$ en esa celda. La dirección $()$ indica que los índices $jk$ son fijos para cualquier persona $i$ porque esa persona se observa en una sola condición. Algunas definiciones de los efectos:
$\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$ (valor medio esperado para el tratamiento $j$ del factor $A$ )
$\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$ (valor medio esperado para el tratamiento $k$ del factor $B$ )
$\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$ (efecto del tratamiento $j$ del factor $A$ , $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$ )
$\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$ (efecto del tratamiento $k$ del factor $B$ , $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$ )
$(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
(efecto de interacción para la combinación de tratamiento $j$ del factor $A$ con tratamiento $k$ del factor $B$ , $\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$
$\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
(efecto principal condicional para el tratamiento $j$ del factor $A$ dentro del tratamiento fijo $k$ del factor $B$ , $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$
$\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
(efecto principal condicional para el tratamiento $k$ del factor $B$ dentro del tratamiento fijo $j$ del factor $A$ , $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$
Con estas definiciones, el modelo también puede escribirse como: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$
Esto nos permite expresar la hipótesis nula de ausencia de interacción de varias formas equivalentes:
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$H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
(todos los términos de interacción individuales son $0$ tal que $\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$ . Esto significa que los efectos del tratamiento de ambos factores -tal como se han definido anteriormente- son aditivos en todas partes).
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$H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
(todos los efectos principales condicionales para cualquier tratamiento $j$ del factor $A$ son iguales, y por lo tanto iguales $\alpha_{j}$ . Esta es esencialmente la respuesta de Dason).
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$H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
(todos los efectos principales condicionales para cualquier tratamiento $k$ del factor $B$ son iguales, y por lo tanto iguales $\beta_{k}$ .)
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$H_{0_{I}}$ : En un diagrama que muestra los valores esperados $\mu_{jk}$ con los niveles del factor $A$ en el $x$ -y los niveles del factor $B$ trazadas como líneas separadas, el $q$ diferentes líneas son paralelas.
