¿Cuál es la probabilidad de que, al colocar 8 torres en un tablero de ajedrez, ninguna de ellas pueda vencer a la otra?
Intento: ${64 \choose 8}^{-1} \approx1$ en $4\ 400\ 000\ 000$
Respuesta correcta: ${64 \choose 8}^{-1} \cdot 8! \approx 1$ en $9\ 000\ 000$ .
No estoy de acuerdo con la $8!$ . Si hay combinaciones (coeficiente binomial) en el denominador, ¿por qué habría permutaciones es decir, ¿el orden cuenta, en el numerador?
Existen $\binom{64}{8}$ formas de colocar las ocho torres en el tablero. De éstas, hay $8!$ formas de que las torres no puedan ganarse entre ellas.
¿Por qué? Debe haber una torre en cada fila, una en cada columna. Así que la colocación definirá un mapa uno a uno de las ocho columnas a las ocho filas. Hay $8!$ tales mapas.
(Las "torres" se llaman rooks en inglés).
La respuesta correcta es el número de bien posiciones de $8$ torres dividido por el número de todos posiciones de $8$ torres. El número de todos posiciones es, por supuesto, $64\choose 8$ ya que puede elegir cualquier $8$ posiciones y ponerles torres.
La pregunta que debes responder ahora es por qué hay $8!$ bien ¿puestos?
Que hay combinación pero no permutación en el denominador está apoyado por el hecho de que necesitamos elegir 8 posiciones del total de 64 para colocar las torres, y como las torres son idénticas no hay necesidad de considerar las ¡8! combinaciones de cada 8 posiciones elegidas.
Ahora, para entender por qué hay permutación en el numerador, veámoslo desde otro punto de vista. Siempre que coloques una torre, no podrás colocar otra en su misma fila o columna. Intenta visualizar cómo la fila y la columna correspondientes a la torre se sombrean a medida que mueves la torre por el tablero. Después de haber colocado las 8 torres, si miras desde un lado del tablero, aparecen todas en línea. Hay 8! combinaciones posibles en esta línea, y aquí no evitamos la permutación ¡8! porque aunque estemos visualizando las 8 en una línea, en cada siguiente combinación no intercambiarán lugares. Más bien intercambiarán su número de fila pero permanecerán en la misma columna. De esta forma cubriremos cada posición de fila en las 8 columnas cubriendo así todo el tablero de ajedrez. Esto nos da 8 combinaciones para colocar las torres de forma que ninguna de ellas pueda vencer a la otra.
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