Es una transformación lineal suryectiva de un espacio vectorial de dimensión infinita $X$ a $X$ ¿es siempre una correspondencia uno a uno?

Question

Es una transformación lineal suryectiva de un espacio vectorial de dimensión infinita $X$ a $X$ ¿es siempre una correspondencia uno a uno?

(En caso de dimensión finita, la subjetividad implica uno-uno. ¿Qué pasa con los espacios vectoriales de dimensión infinita?)

Answer 1

No. La derivada en el espacio de polinomios es suryectiva pero no inyectiva.

Answer 2

El contraejemplo estándar a esto es el shift-izquierda sobre el espacio de secuencias infinitas de números:

$$ T(x_1,x_2,x_3,\ldots) = (x_2,x_3,x_4,\ldots) $$

Answer 3

Esto ya se ha respondido, pero permítanme señalar que existen espacios en los que esto es realmente cierto siempre y cuando por un mapa lineal el OP significa un mapa lineal continuo en un espacio normado .

Entonces todos espacios de Banach hereditariamente indecomponibles tienen la propiedad de que la subjetividad implica la inyectividad (todos los operadores de Fredholm que actúan en dichos espacios tienen índice cero, por lo que la subjetividad implica la inyectividad en este caso).