X no es Hausdorff y para cada punto de X tenemos una vecindad abierta que es homeomorfa a $\mathbb{R}$

Question

Dejamos que $\mathbb{R}\coprod\mathbb{R}$ la unión disjunta de dos copias de $\mathbb{R}$ y escribe $(i,x)$ con $i \in \{1,2\}$ et $x \in \mathbb{R}$ para sus elementos, de modo que el primer índice distinga las dos copias de $\mathbb{R}$ . Vemos $\mathbb{R}\coprod\mathbb{R}$ como un espacio topológico con la topología de la unión disjunta inducida por la topología estándar sobre $\mathbb{R}$ .

Sea $\sim$ sea la relación de equivalencia en $\mathbb{R}\coprod\mathbb{R}$ generados al exigir $(1,x) \sim (2,x)$ siempre que $x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Dejamos que $X = (\mathbb{R}\coprod\mathbb{R})/\sim$ sea el espacio cociente.

(i) Demuestre que X no es un espacio de Hausdorff. (ii) Demostrar que cada punto de X admite una vecindad abierta que es homeomorfa a $\mathbb{R}$ .

(i) Creo que tengo que demostrarlo por contradicción, pero no sé cómo. Tengo dificultades para entender cómo es este espacio X. Ya sé que $\mathbb{R}\coprod\mathbb{R}$ = $\{(i, x_{i}) \mid i \in \{1,2\}, x_{i} \in \mathbb{R}\}$ . Y todos los puntos que satisfagan la relación de equivalencia se comprimirán en un punto. Entonces, ¿cómo se ven dos puntos de X y cómo puedo deducir entonces que X no puede ser un espacio de Hausdorff?

(ii) Creo que necesito un mapa que sea un homeomorfismo/incrustación $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ . Pero no sé cómo construir tal mapa y cómo continuar entonces.

Answer 1

Llame a $0_{0}$ et $0_{1}$ los dos orígenes. Porque por definición de la topología del espacio cociente, las vecindades abiertas de $0_{i} \in(\mathbb{R} \sqcup \mathbb{R}) / \sim$ son precisamente las que contienen subconjuntos de la forma $$ (-\epsilon, \epsilon)_{i}:=(-\epsilon, 0) \cup\left\{0_{i}\right\} \cup(0, \epsilon) . $$ Pero esto significa que los "dos orígenes" $0_{0}$ et $0_{1}$ no pueden estar separadas por barrios, ya que la intersección de $(-\epsilon, \epsilon)_{0}$ con $(-\epsilon, \epsilon)_{1}$ es siempre no vacío: $$ (-\epsilon, \epsilon)_{0} \cap(-\epsilon, \epsilon)_{1}=(-\epsilon, 0) \cup(0, \epsilon) . $$

Para la segunda parte, permítanme esbozar la idea principal. Para cada punto que no sea uno de los dos orígenes, basta con elegir una vecindad abierta y trazar un mapa en la misma vecindad de la recta real. Para los dos orígenes el procedimiento es el mismo, sólo tienes que elegir el intervalo formado por las líneas "superior" e "inferior".

Puede que desee comprobar línea con dos orígenes como este ejemplo. Es un buen ejemplo de espacio localmente euclidiano (cada punto admite una vecindad homeomórfica a la recta real) que no es Hausdorff. Por tanto, cuando se define una variedad topológica, el requisito de ser Hausdorff no es redundante.

Answer 2

Pista: ¿Qué son los barrios de $(1,0)$ et $(2,0)$ ?