La suma de dos vectores situados en un plano que no pasa por el origen, ¿dará un vector en el mismo plano?

Question

Por la ley del triángulo de adición de vectores, la suma de dos vectores dará un vector que está en el mismo plano que los dos vectores originales.

Para el avión, $x+y-2z=4$ ¿tengo razón al considerar $(4,0,0)$ et $(0,4,0)$ como vectores ? Estoy confundido porque , su suma es $(4,4,0)$ y no se encuentra en el mismo plano que $x+y-2z=4$ .

Por favor, no marque esta pregunta como duplicada. Sé que esto ya se ha preguntado aquí y aquí . No obtuve una respuesta convincente en ninguno de esos enlaces. Por eso vuelvo a plantear esta pregunta.

Answer 1

Vectores $(4,0,0)$ et $(0,4,0)$ no están en el plano $x+y-2z=4$ En efecto, indican puntos de ese plano y como este plano no pasa por el origen su suma no está en el mismo plano.

Obsérvese que sólo cuando tenemos un plano que pasa por el origen, como por ejemplo $x+y-2z=0$ entonces para cualquier par de vectores en el plano también su suma se encuentra en ese plano.

Con referencia al plano $x+y-2z=4$ podemos seleccionar dos puntos en ese plano como por ejemplo $(4,0,0)$ et $(0,4,0)$ por lo tanto su diferencia $(4,-4,0)$ representa un vector paralelo al plano dado.

Answer 2

Suponga que su avión es $ax + by + cz = d$ y tienes dos puntos en el plano $(x_1,y_1,z_1)$ et $(x_2,y_2,z_2)$ . Entonces, el punto $(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$ se encuentra en el plano si:

$$a(x_1 + x_2) + b(y_1 + y_2) + c(z_1 + z_2) = d$$

Desde $$a(x_1 + x_2) + b(y_1 + y_2) + c(z_1 + z_2) = (ax_1 + by_1 + cz_1) + (ax_2 + by_2 + cz_2) = d + d = 2d$$ eso significa que necesitamos $d = 2d$ que sólo funciona para $d = 0$ . En otras palabras, el plano debe pasar por el origen.