¿Cuál es la mejor manera de pensar en las derivadas parciales?

Question

Estoy buscando una buena forma visual de pensar en las derivadas parciales (y en las pendientes y líneas tangentes de las derivadas parciales) ya que este concepto es muy nuevo para mí y un poco contra intuitivo.

Entonces, ¿cuál es una buena forma visual de pensar en las derivadas parciales?

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $f(x,y)$ sea alguna función. Entonces puedes visualizar $\partial f / \partial x$ evaluado en un determinado $y=y_0$ como la derivada de una nueva función $g(x) = f(x, y_0)$ . En particular, $\partial f / \partial x \rvert_{y=y_0}=dg/dx$ .

Geométricamente, visualice el gráfico de $f(x,y)$ : alguna superficie. Tomemos un plano paralelo a la $x$ y $z$ ejes y cortar el gráfico con él en un determinado $y=y_0$ . La superficie toca el plano en una curva. Esa curva es su $g(x)$ y tomando el parcial por $x$ significa tomar la derivada de esa $g(x)$ por $x$ .

Tomar las derivadas parciales en diferentes direcciones es como girar el plano y observar la curva en la que se cruzan la superficie y el plano.

Crédito a alamo.edu por la foto.

Answer 2

La mejor manera de verlo es pensar primero en las funciones $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ ya que se puede visualizar esto especialmente con los ordenadores.

Puedes graficar esta función en tres dimensiones y se verá como una superficie suave. Ahora mismo no podemos dar sentido a las derivadas de la forma habitual en una dimensión. Pero seremos capaces después de algunas restricciones. Puedes restringir el dominio a una curva en el plano del dominio, digamos una curva paramétrica $\gamma: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ (alguna curva en el $xy$ -plano). Entonces la gráfica resultante se verá como una curva en tres dimensiones. Pero como vas a lo largo de una curva en el dominio, la función es sólo $f \circ \gamma: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que es una función de una sola variable. Ahora puedes considerar la derivada de esta función. Esto corresponde a la tasa de cambio de la altura a medida que se avanza por la curva en tres dimensiones (en realidad, depende de la velocidad a la que se avanza $\gamma$ pero siempre podemos normalizarlo para que la velocidad sea $1$ es decir $|\gamma'| = 1$ ).

Este es un caso general. La curva más sencilla en el plano del dominio es cuando $\gamma$ es una línea recta. Las derivadas parciales son el caso más especial. Es cuando $\gamma$ no sólo es una línea recta sino paralela a uno de los ejes ( $x$ -eje o $y$ -eje). Así que su sólo la tasa de cambio de la altura como usted va específicamente en el $x$ o $y$ dirección. No podemos visualizar esto en dimensiones superiores pero es el mismo concepto pero con más variables.

Answer 3

Las derivadas parciales también pueden verse como casos especiales de derivadas direccionales. La definición de una derivada direccional en la dirección $v$ está dada por: $$ D_vf(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+hv)-f(x)}{h} $$ Si ahora miramos las derivadas parciales con $f$ una función de dos variables entonces $$\frac{\partial f}{\partial x}=D_1f(x) = D_{(1,0)}f(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+(h,0))-f(x)}{h}.$$ En el caso de la derivada en el $y$ -dirección que casi obtenemos la misma: $$ \frac{\partial f}{\partial y}=D_2f(x) = D_{(0,1)}f(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+(0,h))-f(x)}{h}. $$

Así que estudiando estas definiciones vemos que la derivada parcial es la pendiente de una de las direcciones del eje.

Answer 4

Considera que tienes una función $F(x,y,z)$ . Se puede considerar que la derivada parcial de $F$ con respecto a $y$ es la derivada de $F$ con respecto a $y$ , siendo todas las demás variables fijas.

Por ejemplo $F = y^2 + x y$ entonces, la derivada parcial de $F$ con respecto a $x$ es $y$ y la derivada parcial de $F$ con respecto a $y$ es $(2 y + x)$ . vemos que la derivada parcial es la pendiente de una de las direcciones del eje.

Echa un vistazo a http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_derivative . Es bastante bueno.

Answer 5

Describen la variación de una función de múltiples variables a lo largo de ciertas direcciones. Estas direcciones están determinadas por el eje de coordenadas, por la propia definición de la derivada parcial. La elección de la $i$ -es equivalente a considerar la $i$ -Eje de coordenadas: como efecto principal, al calcular la derivada parcial de una función dada a lo largo de una variable específica se mantienen todas las demás variables como "fijas".