¿Cómo evaluar la bondad de ajuste de un modelo no lineal concreto?

Question

Tengo un modelo no lineal $y=\Phi(f(x,a)) + \varepsilon$ donde $\Phi$ es la fdc de la distribución normal estándar y f es no lineal (véase más adelante). Quiero probar la bondad de ajuste de este modelo con el parámetro $a$ a mis datos $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$ tras haber utilizado la estimación de máxima verosimilitud para hallar $a$ . ¿Cuál sería una prueba adecuada? Me gustaría utilizar esta prueba para etiquetar un mal ajuste como malo y determinar si se deben recopilar más datos.

He estudiado la posibilidad de utilizar la desviación, que compara este modelo con el modelo saturado, con su correspondiente prueba de bondad de ajuste mediante el método $\chi^2_{n-1}$ distribución. ¿Sería esto apropiado? La mayor parte de lo que he leído sobre la desviación se aplica a los MLG, que no es lo que yo tengo. Si la prueba de desviación es apropiada, ¿qué supuestos deben cumplirse para que la prueba sea válida?

Actualización: $f = \frac{x-1}{a\sqrt{x^2+1}}$ para $x>1,a>0$ en caso de que esto ayude.

Answer 1

Utilice el paquete "npcmstest" de la biblioteca "NP" si utiliza la plataforma R. Advertencia: La función puede tardar varios minutos en evaluar su modelo.

También puede considerar una comparación teórica de la información de la distribución de respuesta y la distribución predictiva (es decir, divergencia KL, entropía cruzada, etc.).

Answer 2

Así es como yo lo haría, básicamente una prueba de razón de verosimilitud. Pero recuerde que la "clave" para entender una prueba de bondad de ajuste, es entender la clase de alternativas contra las que se está probando. Ahora tenemos la probabilidad para cada punto de datos individual como:

$$p(y_i|x_i,a,I)=g(\epsilon_i)=g(y_i-f_i)$$

Dónde $g(\epsilon)$ es la probabilidad del término de error en su modelo, y $f_i=\frac{x_i-1}{a\sqrt{x^2_i+1}}$ es la predicción del modelo para el i-ésimo punto de datos, dado $x_i$ et $a$ . Ahora, para cada punto de datos $(x_i,y_i)$ podemos elegir un $a$ tal que $f_i=y_i$ - el "modelo saturado" como usted lo llama. Así que $\chi^2$ es adecuada en este caso, si sólo desea probar alternativas dentro de la clase de las que tienen la misma probabilidad de error, $g(\epsilon)$ y se tiene independencia de cada una de las probabilidades (es decir, conociendo otra $x_j,y_j$ no serviría para predecir $y_i$ dado $a$ ).

Answer 3

En el contexto de la regresión lineal, la prueba de bondad de ajuste se realiza a menudo contra una alternativa más complicada. Usted tiene una regresión lineal, añada algunos términos polinómicos para comprobar si la forma lineal es suficiente. Puesto que ya tiene una forma funcional no lineal, la alternativa complicada que tendría que considerar sería la de regresión no paramétrica . No trataré de ofrecer una introducción al tema, ya que requiere una mentalidad propia, y merece una introducción propia aparte. Para la prueba de regresiones paramétricas frente a no paramétricas, Wooldridge (1992) o Hardle y Mammen (1993) hacen cosas muy parecidas. Hardle también escribió un gran Libro sobre el tema.