El caso de no cointegración
Esto es fácil. Si no tiene rezagos, entonces el modelo se parece a \begin{aligned} \Delta x_{1,t} &= \gamma_{0,1} + u_{1,t}, \\ &\dots \\ \Delta x_{k,t} &= \gamma_{0,k} + u_{k,t}, \\ \end{aligned} donde $k$ es el número de series de su modelo, $\gamma_0$ s son interceptos (se pondrían a cero si no hubiera tendencias temporales en los datos no diferenciados). $x$ s) y $u_t$ s son términos de error. Entonces claramente la historia de las series $j$ no sirve para predecir la serie $i$ más allá de la historia de la serie $i$ sí mismo. (En realidad, la historia de las series $j$ no sirve para predecir la serie $i$ y punto). Y esto es válido para cualquier $(i,j)=1,\dots,k$ donde $i\neq j$ . Por lo tanto, ninguna de las series causa de Granger a ninguna otra serie. (Asimismo, ningún grupo de series causa por Granger a otro grupo de series).
El caso de la cointegración
Para simplificar, consideremos un modelo bivariante. Supongamos que \begin{aligned} \Delta x_{1,t} &= \gamma_{0,1} + \alpha_1 (x_{1,t-1}+\beta x_{2,t-1}) + u_{1,t}, \\ \Delta x_{2,t} &= \gamma_{0,2} + \alpha_2 (x_{1,t-1}+\beta x_{2,t-1}) + u_{2,t} \\ \end{aligned} $\beta\neq 0$ y $\alpha_1\neq 0$ o $\alpha_2\neq 0$ o ambos. Entonces \begin{aligned} x_{1,t} &= \gamma_{0,1} + (\alpha_1+1) x_{1,t-1} + \alpha_1\ \beta x_{2,t-1} + u_{1,t}, \\ x_{2,t} &= \gamma_{0,2} + \alpha_2 x_{1,t-1} + (\alpha_2 \beta + 1) x_{2,t-1} + u_{2,t}. \\ \end{aligned} Si $\alpha_1\beta\neq 0$ (es decir, si $\alpha_1\neq 0$ porque ya sabemos que $\beta\neq 0$ ) en la ecuación para $x_{1,t}$ , $x_2$ Causas de Granger $x_1$ .
Además, si $\alpha_2\neq 0$ en la ecuación para $x_{2,t}$ , $x_1$ Causas de Granger $x_2$ .
También sabemos que en cointegración habrá causalidad de Granger al menos en un sentido (ya que $\beta\neq 0$ y $\alpha_1\neq 0$ o $\alpha_2\neq 0$ o ambos), por lo que $x_1$ Causas de Granger $x_2$ o $x_2$ Causas de Granger $x_1$ o ambos.
