Isomorfismo explícito de $\mathbb G_m/\{\pm 1 \}$ con $\mathbb G_m$

Question

Sea $G$ sea un grupo algebraico lineal sobre un campo algebraicamente cerrado, y sea $H$ sea un subgrupo cerrado. Identificar todos los grupos con sus puntos cerrados. La teoría general garantiza la estructura de una variedad cuasiproyectiva en el espacio de cosets $G/H$ en la topología del cociente.

Para ello se construye una representación racional $\pi: G \rightarrow \textrm{GL}(V)$ junto con un elemento $0 \neq v \in V$ tal que $H$ es el estabilizador en $G$ de la línea $[v]$ a través de $v$ y $\mathfrak h$ es el estabilizador en $\mathfrak g$ la misma línea. La representación induce una acción de $G$ en $\mathbb{P}(V)$ y $G/H$ recibe su estructura de variedad a través de la biyección resultante con la órbita $G[v]$ .

Sea $G = \mathbb{G}_m$ y que $H = \{ \pm 1 \}$ . El cociente $G/H$ es un grupo algebraico unidimensional formado por elementos semisimples, por lo que debería ser isomorfo a $\mathbb{G}_m$ . Me pregunto cómo se puede construir un isomorfismo explícito de $G/H$ con $\mathbb{G}_m$ .

Answer 1

Supongamos que no estamos en la característica dos. Sea $\lambda$ sea un generador de $X(G)$ . Entonces $2\lambda$ es un generador de $X(G/H)$ .

Definir un isomorfismo de grupos abelianos $\phi:X(\mathbb{G}_m) \rightarrow X(G/H)$ par $\phi(\chi) = 2\lambda$ donde $\chi$ es un generador de $X(\mathbb{G}_m)$ . El morfismo de grupos algebraicos $G \rightarrow \mathbb{G}_m, x \mapsto x^2$ induce un morfismo de grupos algebraicos $f: G/H \rightarrow \mathbb{G}_m$ .

Tenemos $\phi(2\lambda) \circ f(xH) =\chi \circ f(xH) = x^2 = 2\lambda(xH)$ . Esto demuestra que $f$ es el morfismo de tori correspondiente a $\phi$ . Desde $\phi$ es un isomorfismo, la equivalencia de categorías entre tori y grupos abelianos libres nos dice que $f$ también es un isomorfismo.

Esto es lo raro: la inversa de $f$ no parece un morfismo de variedades. Al menos a mí, no me parece continuo. Pero debe serlo. Explícitamente, se elige para cada $x \in \mathbb{G}_m$ una raíz cuadrada $\sqrt{x}$ y define $f^{-1}(x) = \sqrt{x}H$ .