Media y varianza de una distribución aleatoria

Question

Qn :

Tiramos un dado de seis caras n veces. Cada vez que el dado sale 1, ip moneda justa. Sea X el número de caras que obtenemos. Obsérvese que el número de veces que se lanza la moneda es aleatorio. Halla la media y la varianza de X.

Ans:

Supongamos que X es el número de caras y F es el número de lanzamientos de la moneda para obtener 1. Tenemos la siguiente fórmula para la esperanza y la varianza de X:

$$\mathbb E[X] = \mathbb E[\mathbb E[X\mid F]] \tag 1$$ $$\operatorname{var}(X) = \mathbb E[\operatorname{var}(X\mid F)] + \operatorname{var}(\mathbb E[X\mid F]) \tag 2$$

Nótese que tanto var(X|F) como E[X|F] son variables aleatorias que dependen de F. Cuando F toma el valor 1/6, tenemos var(X|F) = var(X|F = 1/6) y E[X|F] = E[X|F = 1/6] que son la varianza y la esperanza condicionales de X condicionadas a F = 1/6. Parece obvio pero nos da una forma de determinar var(X|F) y E[X|F]: suponiendo que F = 1/6, la distribución condicional de X es n = 1/6 y p = 1/2. Por tanto, la esperanza y la varianza condicionales son iguales a E[X|F = 1/6] = np = 1/12 y var(X|F = 1/6) = np(1-p) = 1/12 * ½ = 1/24, respectivamente. Sólo tenemos que sustituir 1/6 por F para obtener var(X|F) = 1/24; E[X|F] = 1/12:

¿Hasta aquí estoy en lo cierto, ahora cómo reemplazo esto en las ecuaciones 1 y 2?

¿Hay alguna forma mejor de resolverlo? Estoy confuso. ¿Puede alguien ayudarme con mi planteamiento?

Answer 1

$\newcommand{\E}{\mathbb E}$ $\newcommand{\var}{\operatorname{var}}$

Responderé primero a su última pregunta: Hay una forma mejor de resolverlo. En cada prueba tienes probabilidad $1/12$ de conseguir una "cabeza", y las pruebas son independientes. Así que lo que buscas es el valor esperado y la varianza del número de aciertos en $n$ ensayos independientes, con probabilidad $1/12$ de éxito en cada prueba. La solución de ese problema se conoce independientemente de la ley de la expectativa total y de la ley de la varianza total.

El método que propones también funcionará. Miraré los detalles y posiblemente publique más comentarios al respecto.

Edición posterior:

Dejemos que $F$ sea el número de $1$ s que aparecen cada vez que se lanza el dado, por lo que $$ F = \begin{cases} 1 & \text{with probability }1/6, \\ 0 & \text{with probability }5/6. \end{cases} $$ Sea $X$ es el número de cabezas que aparecen, por lo que $$ \E(X\mid F=1) = \frac12\text{ and }\E(X\mid F=0) = 0. $$ Así pues, tenemos $$ \E(X\mid F) = \begin{cases} 1/2 & \text{with probability }1/6, \\ 0 & \text{with probability }5/6. \end{cases} $$ Por lo tanto $$ \E(X) = \E(\E(X\mid F)) = \frac{1}{12}. $$

También, $$ \var(X\mid F=1) = \frac14 \text{ and }\var(X\mid F=0)=0. $$ Por lo tanto $$ \E(X\mid F) = \begin{cases} 1/2 & \text{with probability }1/6, \\ 0 & \text{with probability }5/6. \end{cases} $$ De ello se deduce que $$ \var(\E(X\mid F)) = \left(\frac12\right)^2\cdot\frac16\cdot\frac56= \frac{5}{144}. $$ Y $$ \var(X\mid F) = \begin{cases} 1/4 & \text{with probability }1/6, \\ 0 & \text{with probability }5/6. \end{cases} $$ En consecuencia $$ \E(\var(X\mid F)) = \frac{1}{24}. $$ Entonces tenemos $$ \var(X) = \var(\E(X\mid F))+\E(\var(X\mid F)) = \frac{5}{144}+\frac{1}{24} = \frac{11}{144}. $$

Todo esto para una sola prueba. Para $n$ ensayos, multiplique la expectativa por $n$ y como son independientes, también se puede multiplicar la varianza por $n$ .

En algunos problemas, estas identidades, a veces denominadas ley de la expectativa total y ley de la varianza total, son la forma más eficaz, y a veces la única, de resolver problemas. Pero en este caso, el método presentado en primer lugar en esta respuesta es mucho más rápido.