demostrar la identidad combinatoria: $ {2n \choose n} + {2n\choose n-1} = (1/2){2n + 2 \choose n + 1}$

Question

Así que lo primero que hice fue multiplicar y luego aislar el término más a la izquierda. Eso me deja con $$ 2{2n \choose n} ={2n + 2\choose n + 1} - 2{2n \choose n -1} $$ Ningún razonamiento específico, excepto que parece más limpio, al menos para mí. Entonces la forma en que lo pensé fue que estamos tratando de hacer dos $n$ comités miembros de $n$ koalas y $n$ pandas. Me han dicho que al ver la resta debo pensar en el complemento pero no se muy bien como incorporar el complemento a esto. De cualquier manera, voy por buen camino o estoy completamente desencaminado. Gracias de antemano por vuestro tiempo.

Answer 1

SUGERENCIA: Utiliza el hecho de que $\binom{n}k=\binom{n}{n-k}$ para reescribirlo como

$$\binom{2n+2}{n+1}=2\binom{2n}n+2\binom{2n}{n-1}=2\binom{2n}n+\binom{2n}{n-1}+\binom{2n}{n+1}$$

y usar la identidad de Pascal dos veces.

Tenga en cuenta que $2\binom{2n}n$ en realidad no corresponde a hacer dos $n$ -comités de miembros de un grupo de $n$ koalas y $n$ pandas. Si vas a intentar un enfoque combinatorio, lo mejor que puedes hacer es escribir como yo lo hice más arriba y considerar hacer un comité de $n+1$ bichos de un grupo de $n+1$ koalas y $n+1$ pandas. Supongamos que hay exactamente un koala negro y exactamente un panda negro, siendo todos los demás bichos blancos. Entonces $2\binom{2n}n$ es el número de maneras de elegir $n$ de los bichos blancos y uno de los negros. ¿Qué representan los otros dos términos de la parte derecha de la expresión?

Answer 2

Sugerencia: Utilice la identidad $$\binom{2n}{n}+\binom{2n}{n-1}=\binom{2n+1}{n}.$$ Y la definición (algebraica) de coeficiente binomial.

Answer 3

Tenga en cuenta que $\binom {2n}{n-1}=\binom {2n}{n+1}$ . Así que podemos demostrar $$\binom {2n+2}{n+1}=\binom {2n}{n+1}+2\binom {2n}{n}+\binom {2n}{n-1}.$$ Ahora puedes comprobarlo considerando el número de formas de elegir un comité de tamaño $n+1$ de un grupo de $2n+2$ . Supongamos que hay dos personas llamadas A y B en el grupo. Para el RHS, hay que contar por separado en función de que A y/o B estén o no en el comité. Este es un caso especial de Demostrar la identidad combinatoria ${n \choose k} = {n-2\choose k-2} + 2{n-2\choose k-1} + {n-2\choose k}$ .

Answer 4

Siempre que ves este tipo de identidades, al menos yo no pienso así. Pienso algebraicamente. Tal vez largo, pero siempre correcto.
Queremos demostrar $$2{2n \choose n} ={2n + 2\choose n + 1} - 2{2n \choose n -1}$$ Sabemos que $${2n\choose n}+{2n\choose n-1}={2n+1\choose n}$$ Multiplicar por $2$ $$2{2n\choose n}+2{2n\choose n-1}=2{2n+1\choose n}$$ Ahora tenemos que demostrar que $$2{2n+1\choose n}={2n+2\choose n+1}$$ $$2.\frac{(2n+1)!}{(n+1)!n!}=\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}$$ Supongamos lo anterior, si es cierto, obtendremos RHS=LHS, de lo contrario, obtendremos una contradicción. Así , por cancelación
$$2=\frac{2n+2}{n+1}$$ Lo cual es cierto. Por lo tanto, $$2{2n\choose n}+2{2n\choose n-1}={2n+2\choose n+1}$$ Así que esta expresión es equivalente a tu pregunta.
Siempre que la prueba de ${2n\choose n}+{2n\choose n-1}={2n+1\choose n}$ probaré el caso más general $${n\choose k}+{n\choose k-1}={n+1\choose k}$$ Prueba: La ecuación dada es la misma que $$\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}$$ Supongamos que con la misma condición que antes,
$$\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}(\frac1k+\frac1{n-k+1})=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}$$ Anulando y sumando en el LHS, $$\frac{n+1}{k(n-k+1)}=\frac{n+1}{k(n-k+1)}$$ Así que LHS=RHS. Por lo tanto probado.