Relación entre las representaciones de TQFT y las láminas factorizables

Question

Me interesa la comparación entre dos construcciones diferentes que, por lo que sé, se supone que producen construcciones rigurosas de bloques conformes de Wess-Zumino-Witten.

Más concretamente, por un lado, tenemos la construcción de Reshetikhin-Turaev, así como de Blanchet-Habegger-Masbaum-Vogel, de "representaciones cuánticas" de grupos de clases cartográficas de superficies de Riemann (posiblemente con puntos marcados): véase, por ejemplo, la Sección 3 de Masbaum - Representaciones cuánticas de grupos de clases cartográficas para una buena encuesta. Por otra parte, el libro de Bezrukavnikov-Finkelberg-Schechtman (BFS) Fábricas factorizables y grupos cuánticos produce gavillas sobre ciertas pilas $\mathcal{M}_{A, \delta}$ que son, aproximadamente, (un haz de líneas sobre) pilas de moduli de curvas con puntos marcados y vectores tangentes distintos de cero en estos puntos marcados; véase, por ejemplo, el apartado 1.5 en la página 9.

Pregunta: ¿cómo se relacionan estas dos construcciones?

Creo que deben estar estrechamente relacionados, y esto quizá lo sepan bien los expertos. Me confunde la aparición de vectores tangentes en las pilas de módulos $\mathcal{M}_{A, \delta}$ más arriba, aunque quizás he entendido mal lo que se supone que son los bloques conformados en BFS. Agradecería cualquier comentario o referencia.

Answer 1

En resumen: estos vectores tangentes están siempre presentes. En la literatura sobre WZW se suelen elegir coordenadas formales locales en el punto marcado, es decir, una identificación de la vecindad de aquéllas con un disco punteado formal elegido, pero esto equivale esencialmente a lo mismo. La razón es la compatibilidad con el encolado: el espacio de moduli de las curvas algebraicas de género $g$ con $n$ puntos marcados con vectores tangentes, es equivalente al espacio de moduli de género $g$ superficies con $n$ componentes fronterizos junto con una parametrización de la frontera que es lo que necesitas pegar.

Por cierto, yo no diría que BFS es una construcción rigurosa de los bloques conformes del modelo WZW (esto ya se puede hacer riguroso). Más bien, lo que yo entiendo es que es una construcción geométrica del functor modular asociado a la categoría tensorial modular de un grupo cuántico en la raíz de la unidad (de ahí, en particular, una construcción geométrica directa de esa categoría también). Creo que de lo que se trata es de tener una construcción que se parezca a la construcción de bloques conformes en WZW pero por el lado del grupo cuántico.

Una vez que conozcas las categorías tensoriales modulares que obtienes como valor del círculo para cualquiera de esas construcciones son las mismas, puedes utilizar, por ejemplo, el resultado de Andersen-Ueno ( https://arxiv.org/abs/math/0611087 ) que un functor modular (en un sentido algo restrictivo) está determinado por su parte de género 0 para concluir que son equivalentes.