Equivalencia del sumo límite de una sucesión de conjuntos y de una sucesión de funciones

Question

Sea $X_1,X_2,\dots$ sea una secuencia de variables aleatorias de valor real donde $X_n:\Omega \to \mathbb{R}$ .

Para cualquier secuencia de acontecimientos $A_n \subset \Omega$ defina $\limsup_nA_n := \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m$ .

Además, defina la variable aleatoria (real-extendida) $Y \equiv (\limsup_nX_n)$ por $Y(\omega) := \limsup_n\{X_n(\omega) \mid n=1,2,\dots\}$ .

¿Cómo establecerías que

$$ \limsup_{n}\{\omega \mid X_n(\omega) \in B\} = \{\omega \mid (\limsup_nX_n)(\omega)\ \in B \}, \qquad (*) $$

para cualquier conjunto de Borel $B$ ? ¿Es la proposición $(*)$ ¿Es cierto?

Answer 1

Después de pensarlo mejor creo que $(*)$ es en general falsa.

Sea $B = \{ b\}$ sea un conjunto único. Obsérvese que

1. $\omega \in \{ \omega' \mid (\limsup_nX_n)(\omega') = b \}$ sólo si $\limsup\{X_1(\omega), X_2(\omega), \dots \} = b$ .

2. $\omega \in \limsup_n\{ \omega' \mid X_n(\omega') = b \}$ si y sólo si para todo $n$ existe $m>n$ tal que $X_m(\omega)=b$ o lo que es lo mismo $X_n(\omega) = b$ infinitamente a menudo.

Sea $\omega$ sea tal que la secuencia $(X_n(\omega))_{n=1}^{\infty} = (0,1,0,1,0,1,0,1,\dots)$ y poner $b=0$ . Entonces $(\limsup_nX_n)(\omega) = 1$ Sin embargo $X_n(\omega) = 0$ ocurre infinitamente a menudo.