Nombre de esta estrategia de control

Question

Supongamos que tenemos un sistema dinámico no lineal en $\mathbb{R}^n$ de la forma $$ \dot{x}(t) = f(x(t),u), $$ donde $f(0)=0$ es decir, el origen es un equilibrio. Mi pregunta es, ¿existe una estrategia de control particular cuyo objetivo sea estabilizar dicho punto de equilibrio con dos controles $A(t)\in\mathbb{R}^{n\times n},\;b(t)\in\mathbb{R}^n$ pasando al sistema $$ \dot{x} = f(x,\tilde{u}(t,x))=\tilde{f}(A(t)x+b(t))? $$

Por ejemplo, si $f(x,u) = M(x+u) := \tilde{f}(x+u)$ para una matriz $M$ entonces sólo tendría que poner $\tilde{u}=A(t)x+b(t)-x$ es decir, obtengo $$f(x,\tilde{u}) = f(x,A(t)x+b(t)-x)=\tilde{f}(A(t)x+b(t))=M(A(t)x+b(t)).$$

Más concretamente, ¿se conoce alguna estrategia de control basada en la idea de combinar la no linealidad con una transformación afín dependiente del tiempo de la variable de estado? Sólo me gustaría conocer el nombre de esta estrategia, si existe, luego ya me las apañaré para entenderla y estudiarla.

Seguiría siendo interesante saber si una estrategia similar a la de $$\dot{x} = f(A(t)x)+b(t)$$ se utiliza.

Answer 1

No, no lo creo. Decir que algo no existe, es siempre una gran exageración. No conozco todos los métodos jamás concebidos, pero permítanme explicar por qué creo que tal estrategia no existe:

La progresión del sistema dinámico sólo depende indirectamente de $t$ . Directamente depende sólo de su estado $x$ y su entrada de control $u$ ("Propiedad Markov"). Entonces, ¿por qué debería inyectar una dependencia temporal en mi controlador, si al propio sistema no le importa la hora?

Ahora bien, falta una parte importante de tu problema: El control óptimo siempre busca minimizar una función de coste. ¿Cuál es su función de coste? Esa es una suposición de modelado, ¡tienes que hacerla! Usted escribe, usted quiere $x$ para permanecer cerca del origen, así que tal vez pongamos algo como $J(x, u, t) = \int_{t_0}^{t_1}||x||^2$ .

Ahora, si eliminas la dependencia temporal de tu controlador $u$ y asumir $f$ es lineal, se llegaría a Regulador lineal-cuadrático . Creo que sería un controlador razonable para el problema que describes. O al menos un buen punto de partida, para encontrar algoritmos de control más sofisticados.