Prueba $K(\mathbb{Z}^n,2) = B\mathbb{T}^n$

Question

Quiero probar la declaración $K(\mathbb{Z}^n,2) = B\mathbb{T}^n$ ¿Cómo puedo hacerlo? ¿Necesito usar clases Chern o algo así? Espero su ayuda.

Answer 1

Sea $X$ sea un espacio topológico, un mapa $f:X\rightarrow B\mathbb{T}^n$ define un $\mathbb{T}^n$ -bundle over $X$ definido por $1$ -ciclo $c\in H^1(X,\mathbb{T}^n)=H^2(X,\mathbb{Z})$ . Esto se deduce de la secuencia exacta $0\rightarrow \mathbb{Z}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{T}^n\rightarrow 1$ ya que $\mathbb{R}^n$ es contractible, la secuencia exacta larga en cohomología da $H^n(X,\mathbb{T^n})=H^{n+1}(X,\mathbb{Z}^n)$ .

Desde $K(\mathbb{Z}^n,2)$ representa el $2$ -con coeficientes en $\mathbb{Z}^n$ es decir, el conjunto de clases de homotopía de los mapas $[X,K(\mathbb{Z}^n,2)]=H^2(X,\mathbb{Z}^n)$ deducimos que $B\mathbb{T}^n=K(\mathbb{Z}^n,2)$ .