Supongamos que escribo cambio de valor de función diferenciable $f$ en un intervalo de tiempo a $t$ de longitud infinitesimal $dt$ como $$df_t = t dt$$ Así que básicamente obtengo una ODE simple. La solución que veo en un libro es simplemente integrar esa ecuación y entonces obtengo la solución $f_t=\frac{1}{2} t^2$ . Mi pregunta es: ¿cómo se realiza formalmente esta integración? Hasta donde yo sé, cuando integro un lado de la ecuación, significa que pongo en en esta expresión: $ \int ... dt$ . Sin embargo, ya tengo en los dos lados de las ecuaciones con diferentes variables de integración ( $df_t$ y $dt$ ). Así que si siguiera la lógica anterior, tendría $$ \int df_t\ dt = \int tdt \ dt$$ que no tiene ningún sentido. Gracias de antemano por su ayuda.
Respuesta
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caverac
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Debería darse cuenta de que
$$ \int {\rm d}\mu = \mu + c \tag{1} $$
donde $c$ es una constante. Una vez que estés de acuerdo con esta afirmación, el resto se deduce inmediatamente, por ejemplo, observa que
$$ {\rm d}\left(\frac{1}{2}t^2\right) = t~{\rm d}t \tag{2} $$
Así que la ecuación original se convierte en
$$ {\rm d}f_t \stackrel{(2)}{=} {\rm d}\left(\frac{1}{2}t^2\right) \tag{3} $$
Integrando a ambos lados se obtiene
\begin{eqnarray} \int {\rm d}f_t &=& \int {\rm d}\left(\frac{1}{2}t^2\right) \\ f_t &\stackrel{(1)}{=}& \frac{1}{2}t^2 + c \tag{4} \end{eqnarray}
