Hace un par de días en mi Cálculo BC clase nos dieron una página de 6 desafiantes de fin de año de los problemas. Que fue un cambio refrescante de la monotonía que suelen hacer (WebAssign). Uno de ellos fue como este:
Hay una calle de longitud 4, en el cual los coches de longitud 1 deseen parque. Sin embargo, en lugar de aparcamiento en una bonita manera organizada, parque al azar, recogiendo de manera uniforme a partir de las posiciones disponibles para el parque (que aparentemente son idiotas). Suponiendo que no hay coches de salir, y continuar hasta llegar a no más puede caber, lo que se espera que el número de coches que se ajuste?
Traté de resolver el problema mediante la búsqueda de las probabilidades de 2 y 3 coches.
Cuando busqué la respuesta en https://cornellmath.wordpress.com/2008/01/08/the-efficiency-of-random-parking/ la respuesta fue trascendental, mientras que la mía era racional. Metí la pata en algún lugar a lo largo del camino o en uno de mis suposiciones. Me gustaría saber por qué mi solución es incorrecta.
Mi Solución:
Así que empezamos con una calle de la longitud de la $4$ que puede ser representada por un número de línea a partir de $0$ y terminando en $4$, es decir, el intervalo de $[0, 4]$. Dicen que el primer coche lleva hasta el intervalo de $[a_1, a_1+1]$ donde $0\le a_1 \le 3$.
Ahora, la elección de aparcamiento para el coche de primera límites donde el segundo coche se puede aparcar. Deje que el extremo izquierdo de la segunda coche se $a_2$. Entonces, tal como se dijo anteriormente, tenemos $0\le a_2 \le 3$. Además, $a_2$ debe ser mayor o igual que el extremo derecho del primer coche ($a_2 \ge a_1 + 1$), o menor que o igual a uno menos el extremo izquierdo del primer coche($a_2 \le a_1 - 1$).
Estas restricciones determinar un "espacio muestral" (creo que ese es el término adecuado, pero no estoy seguro) de tuplas $(a_1, a_2)$. Este espacio muestral puede entonces ser representado por una región delimitada entre las curvas en coordenadas cartesianas. He subido una foto de mi mano dibuja el gráfico. La región sombreada representa el espacio muestral.
Ahora voy a explicar cómo llegué a los límites para el espacio muestral. Si $0\le a_1\le 2$, entonces, de lo que he dicho anteriormente, tenemos $a_1 +1 \le a_2\le3$. Del mismo modo, si $1\le a_1\le3$$0\ge a_2\ge a_1-1$. Tenga en cuenta que cuando se $1\le a_1\le2$ tomamos la unión de las descritas regiones.
Ahora bien, esta es la recta final. Está claro que la elección de $(a_1, a_2)$, se determina si un tercer coche caben o no. Así que la pregunta es "¿qué porcentaje de tuplas permitir un tercer coche a quedar?"
Si nos fijamos en el intervalo en que se $1\le a_1\le2$ vemos que, independientemente de dónde se coloca el segundo coche siempre habrá espacio para una tercera. Por lo que esta región es parte de la respuesta.
Echemos un vistazo a al $0\le a_1\le1$. En este caso, los automóviles no puede caber antes de la primera, por lo que un tercer coche podría encajar sólo si hay un espacio vacío de longitud entre el segundo coche y el extremo derecho de la calle, o si no había suficiente espacio entre el primero y el segundo coche. En el primer caso, es cierto al $a_2\le2$. La segunda es verdadera cuando $a_2\ge a_1 + 2$.
La simetría puede ser utilizado para encontrar análoga límites al $2\le a_1\le3$.
Todas estas desigualdades forma limitada regiones cuyas áreas puede ser fácilmente calculada. Al final, la probabilidad de montaje 3 coches, viene a $\frac{3}{4}$!
LO QUE ESTÁ MAL CON ESTA SOLUCIÓN?!?!
