He solucionado el problema después de publicar esto. Mi solución se incluye a continuación.
Solución : Sea $A=k[x_0,\ldots,x_n]/I$ sea el anillo de coordenadas homogéneo de $V$ . Aquí $I$ es un ideal homogéneo. Podemos suponer $x_i\neq 0$ en $A$ para todos $i$ .
Los primos de altura uno de $A$ son homogéneas o no homogéneas. Decimos que los primos homogéneos corresponden a divisores primos de "tipo uno" y que los primos no homogéneos son divisores primos de "tipo dos". (Esta es la terminología de la Proposición II.6.6 de Hartshorne).
Sea $\mathfrak{p}\subseteq A$ sea un primo de altura uno con $\mathfrak{p}\not\subseteq (x_0,\ldots,x_n)=\mathfrak{m}$ . Esto corresponde a un divisor primo $Y$ del cono $X$ que no pasa por el punto cónico $P$ . Obsérvese que este divisor primo es de tipo dos, porque todo divisor de tipo uno pasa por $P$ . Seleccione $h\in \mathfrak{p}$ tal que $h\equiv 1 \pmod{m}$ . Elige cualquier índice $i$ y considerar las localizaciones sucesivas
$$A \hookrightarrow A_{x_i}=A_{(x_i)}[x_i,{x_i}^{-1}] \hookrightarrow K[x_i,{x_i}^{-1}] \subseteq \mathrm{Frac}(A)$$
donde $A_{(x_i)}$ son los elementos de grado cero en la localización $A_{x_i}=A[x_i^{-1}]$ y $K=\mathrm{Frac}\left(A_{(x_i)}\right)$ es el campo de funciones de $V$ .
Obsérvese que el punto genérico de cualquier divisor de tipo dos está contenido en el gráfico $D(x_i)=\mathrm{Spec} ~ A_{x_i}$ (es decir, el complemento de $x_i=0$ ), porque la sección del hiperplano $x_i=0$ contiene sólo divisores primos de tipo uno (todo primo mínimo de un ideal homogéneo es homogéneo). El mismo argumento muestra que $\mathfrak{p}$ no puede contener ningún elemento homogéneo distinto de cero, por lo que $(\mathfrak{p}A_{(x_i)}[x_i,x_i^{-1}])\cap A_{(x_i)} = 0$ . En efecto, los divisores primos de tipo dos son precisamente las preimágenes en $A$ de primos distintos de cero en $K[x_i,x_i^{-1}]$ .
Desde $K[x_i,x_i^{-1}]$ es un dominio ideal principal, el primo extendido $\mathfrak{p}K[x_i,x_i^{-1}] \subseteq K[x_i,x_i^{-1}]$ es principal, generado por algún $f \in K[x_i,x_i^{-1}]$ . Escala por $K$ , $x_i$ y $x_i^{-1}$ podemos suponer que el término de menor grado de $f$ es igual a $1$ .
Si $Y'\neq Y$ es otro divisor primo de tipo dos en $X$ con valoración asociada $v_{Y'}$ en $\mathrm{Frac}(A)$ tenemos $v_{Y'}(Y)=0$ . Esto se debe a que el polinomio irreducible $f$ está contenido exactamente en un primo de altura uno de $K[x_i,x_i^{-1}]$ que es la correspondiente a $Y$ . Tenemos ${v_{Y}} (f)=1$ donde $v_Y$ es la valoración en $\mathrm{Frac}(A)$ asociado a $Y$ .
Escriba a $h=fg$ para algunos $g \in K[x_i,x_i^{-1}]$ . Tenga en cuenta que $g$ también debe tener el término de menor grado igual a $1$ .
Supongamos que $Z$ es un divisor primo de tipo uno cuyo punto genérico está en $D(x_i)$ y escribe $v_Z$ para la valoración asociada en $\mathrm{Frac}(A)$ . Si escribimos $$f=1+\sum_{\ell=1}^r a_{\ell}x_i^{\ell}$$ entonces $v_Z(f)=\min\limits_{\ell\in\{0,\ldots,r\}} v_Z(a_\ell)$ donde $a_0=1$ . Nota $v_Z(f)\leq 0$ para todos los $Z$ . Las mismas afirmaciones son válidas cuando $f$ se sustituye por $g$ . Desde $h$ tiene el término de grado más pequeño igual a $1$ sabemos $h\not \in \mathfrak{q}$ para cualquier primo homogéneo $\mathfrak{q}\subseteq A$ . Esto implica $v_Z(h)=v_Z(fg)=0$ para todos los $Z$ . La no positividad de arriba implica entonces $v_Z(f)=v_Z(g)=0$ para todos los $Z$ .
El gráfico $D(x_i)$ sin embargo, puede que no contenga todos los divisores de tipo uno, así que elige otro índice $j$ y escribe $$f=1+\sum_{\ell=1}^r a_{\ell}'x_j^{\ell}\in K[x_j]\subseteq K[x_j,x_j^{-1}]$$ donde $a_{\ell}'=a_{\ell}(x_i/x_j)^\ell$ . Como elemento de $\mathrm{Frac}(A)$ Este $f$ es el mismo que antes. Podemos hacer lo mismo para $g$ . El argumento anterior aplicado a esta situación muestra entonces que $v_Z(f)=v_Z(g)=0$ para todos los divisores de tipo uno $Z$ cuyo punto genérico está contenido en $D(x_j)$ . Variando sobre el índice $j$ para que cubramos $X$ vemos que $v_Z(f)=0$ para todos los divisores de tipo uno $Z$ .
Por tanto, el divisor en $X$ asociada a la función racional $f$ es simplemente $Y$ es decir $Y$ es un divisor principal.
Observación : Si $A$ no es normal, no estoy seguro de si $f$ tiene que estar en $A$ es decir $A$ puede no ser un dominio Krull. Así que la reformulación algebraica de mi pregunta original puede ser un poco más fuerte de lo necesario.
Corolario : Sea $V\subseteq \mathbb{P}^n_k$ sea una variedad proyectivamente normal (es decir, el anillo de coordenadas homogéneo es normal) y sea $X$ sea el cono afín sobre $V$ . Entonces el grupo de clase Cartier de $X$ es trivial.
Prueba : Para las variedades normales, el grupo de clases de Cartier puede identificarse con el subgrupo del grupo de clases de Weil dado por los divisores localmente principales. Un divisor de Weil que es principal en el punto del cono $P$ es linealmente equivalente a un divisor que no pasa por el punto del cono. Por el problema anterior, tal divisor es principal.
Ejemplo : El cono $\mathrm{Spec} ~k[x,y,z]/(xy-z^2)$ es normal. Tiene un grupo de clases de Cartier trivial pero un grupo de clases de Weil no trivial.
