grupo fundamental de $\Bbb R^3\setminus S^1$ con repliegue explícito de la deformación

Question

Estoy estudiando el libro de topología algebraica de Tamma tom Dieck y veo la pregunta 2.8.1

Pregunta : Sea $ D = \{(0,0,t) \mbox{ } | -2 \leq t \leq 2 \} $ y $S^2(2) = \{ x \in \mathbb{R}^3 \mbox{ } | \mbox{ } \|x\| = 2 \} $ . Entonces $S^2(2) \cup D $ es deformación retracción de $\mathbb{R}^3\setminus S^1 $

He visto la pregunta sobre encontrar el grupo fundamental de $\mathbb{R}^3\setminus S^1 $ en la red pero nunca he visto respuesta con la formula explicita de la retraccion por deformacion y no puedo verla , ni siquiera puedo intuirla . Quiero tanto la fórmula explícita de la retracción de la deformación como la intuición.

Answer 1

He aquí una forma de definir una retractación $r:\mathbb R^3\backslash S^1\rightarrow S^2(2)\cup D$ .

Sea $x\in \mathbb R^3\backslash S^1$ ,

• Si $\|x\|\geq 2$ se define la imagen de $x$ ser $r(x)=2\dfrac{x}{\|x\|}$ ,
• Si $x\in D$ entonces $r(x)=x$ ,
• En caso contrario, si $x\notin D$ y $0<\|x\|\leq 2$ consideremos el plano $\mathcal P$ que contiene el $z$ -eje $(Oz)$ y $x$ . Sea $p$ sea el punto de $S^1$ en $\mathcal P$ cerca de $x$ . Consideremos ahora la media línea $L$ a partir de $p$ y pasando por $x$ . Definimos $r(x)$ sea el primer punto de intersección de $L$ y $S^2(2)\cup D$ .

Puedes comprobarlo, por construcción, $r$ está bien definida en cada parte y es continua. Además, $r$ envía $S^2(2)\cup D$ idéntica a sí misma.

El mapa $$\begin{array}{rccl}F:&\mathbb R^3\backslash S^1\times [0,1]&\longrightarrow &\mathbb R^3\backslash S^1\\ & (x,t)& \longmapsto &t\cdot i\circ r(x)+(1-t)\cdot x\end{array}$$ está bien definida, es continua, $F(\cdot,0)=id$ , $F(\cdot,1)=i\circ r$ y $F(x,t)=x$ para cualquier $x\in S^2(2)\cup D$ y cualquier $t\in [0,1]$ . Por lo tanto, $r$ es en realidad una fuerte deformación de retracción.