La pregunta está en el título, pero emplea cierta terminología privada, así que mejor me explico.
Sea $R$ sea un dominio integral con campo de fracciones $K$ y escribe $R^{\bullet}$ para $R \setminus \{0\}$ . Para mis propósitos aquí, un norma en $R$ será una función $| \ |: R^{\bullet} \rightarrow \mathbb{Z}^+$ tal que para todo $x,y \in R^{\bullet}$ , $|xy| = |x||y|$ y $|x| = 1$ si $x \in R^{\times}$ . Ponga también $|0| = 0$ .
[ Editar : Olvidé mencionar que el mapa norma se extiende de forma única a un homomorfismo de grupo $K^{\bullet} \rightarrow \mathbb{Q}^{> 0}$ .]
La norma es Euclidiano si para todo $x \in K \setminus R$ existe $y \in R$ tal que $|x-y| < 1$ .
Ahora dejemos que $q(x) = q(x_1,\ldots,x_n)$ sea una forma cuadrática (no degenerada) sobre $R$ que me refiero en el sentido relativamente ingenuo de sólo un elemento $R[x_1,\ldots,x_n]$ que es homogénea de grado $2$ . Suponiendo que una norma $| \ |$ en $R$ se ha fijado, digo que la forma cuadrática $q$ es Euclidiano si para todo $x \in K^n \setminus R^n$ existe $y \in R^n$ tal que $0 < |q(x-y)| < 1$ .
(Si $q$ es anistrópico, entonces $x \in K^n \setminus R^n$ , $y \in R^n$ implica que $x-y \neq 0$ Así que $|q(x-y)| \neq 0$ y la condición se simplifica a $|q(x-y)| < 1$ .)
Por ejemplo, la suma de $n$ es euclidiana sobre $\mathbb{Z}$ si $1 \leq n \leq 3$ .
Es fácil ver que el anillo $R$ (con su norma fija) es euclídea si la forma cuadrática $q(x) = x^2$ es euclidiana (si la forma cuadrática $q(x,y) = xy$ es euclidiano), por lo que el concepto de forma cuadrática euclidiana es, en efecto, una especie de generalización del de anillo euclidiano.
Por el contrario, la siguiente es una pregunta obvia que no he podido responder.
Supongamos que un anillo normado $R$ admite alguna forma cuadrática euclidiana $q$ . Es $R$ ¿es necesariamente un dominio euclidiano? En otras palabras, ¿pueden existir formas cuadráticas euclidianas si $q(x) = x^2$ no es euclidiano?
Si la respuesta es "no", me gustaría saber más: ¿puede ocurrir esto con una forma anisótropa? $q$ ? ¿Qué se puede decir de un anillo $R$ que admite una forma cuadrática euclidiana?
Tengo la sospecha de que un dominio que admite una forma cuadrática euclidiana es al menos un EPI. En efecto, sea $q$ sea una forma cuadrática sobre $R$ . Por un $R$ -cambio lineal de variables podemos escribirlo como $a_1 x_1^2 + \sum_{j=2}^n a_{1j} x_1 x_j + \sum_{i=2}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$ con $a_1 \neq 0$ . Entonces si tomo mi vector $x$ ser $(x_1,0,\ldots,0)$ para $x_1 \in K \setminus R$ entonces la condición euclidiana implica lo siguiente: existen $y_1,z \in R$ tal que $|a(x_1-y_1)^2 - z| < 1$ . Esto recuerda a la propiedad de Dedekind-Hasse para una norma que se sabe que implica que $R$ es un PID. De hecho, es mucho más fuerte en el sentido de que el $a \in R$ es fijo (y el $z$ tampoco es arbitraria). Lamentablemente, en lugar de un elemento arbitrario $x$ de $K$ tenemos un cierto cuadrado, así que esto no coincide con el criterio de Dedekind-Hasse... pero me parece algo improbable que un dominio que no sea un PID lo satisfaga.
Para más información sobre las formas euclidianas, no dude en consultar
http://alpha.math.uga.edu/~pete/ADCforms.pdf
Añadido un nuevo borrador que tiene en cuenta los comentarios de J. Hanke y F. Lemmermeyer está disponible en
http://alpha.math.uga.edu/~pete/ADCformsv2.pdf
Advierto que la nueva sección 2.1 que muestra que las formas euclídeas binarias (primitivas) corresponden a clases ideales euclídeas en órdenes cuadráticos en el sentido de Lenstra --como señala Franz Lemmermeyer en su respuesta-- está bastante mal escrita por el momento, pero al menos está ahí.
