Par de operadores normales

Question

Sea $\mathcal{B}(F)$ el álgebra de todos los operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert complejo $F$ .

$S=(S_1,S_2)$ se llama normal si $S_1S_2=S_2S_1$ y ambos $S_1$ y $S_2$ son normales.

Supongamos que $F$ es un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita.

Busco un ejemplo de dos operadores normales $S_1$ y $S_2$ (que no son múltiplos escalares de la identidad) tales que $S_1S_2=S_2S_1$ y $S_1\neq S_2$ .

Answer 1

Aquí tienes una familia de ejemplos que te pueden interesar. Tomemos dos secuencias acotadas cualesquiera $(a_n),(b_n)$ . Definir los mapas $S_i:\ell_2 \to \ell_2$ por $$ (T_1x)_n = a_nx_n, \qquad (T_2x)_n = b_n x_n $$