La preimagen de una función $f:X \rightarrow Y$ se define como $Img^{-1} f = \{ x \in X : f(x) \in Y \} $ lo que equivale a $\{ x \in X : \exists y \in Y : f(x) = y \}$ . Esta última definición es la misma del dominio de una función. ¿Son siempre equivalentes la preimagen y el dominio? ¿O hay algún caso en el que tengamos un elemento en el dominio y no en la imagen?
Respuesta
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La preimagen suele definirse para subconjuntos del codominio. Es decir, dada una función $f : X \to Y$ y un subconjunto $V \subseteq Y$ la preimagen de $V$ en $f$ se define por $$f^{-1}[V] = \{ x \in X : f(x) \in V \}$$ El conjunto de tu pregunta es la preimagen de todo el codominio, es decir, utilizando tu notación, tenemos $\mathrm{Img}^{-1}(f) = f^{-1}[Y]$ . Como parte de la definición de una función es que sus valores deben ser elementos del codominio, inevitablemente obtenemos $f^{-1}[Y]=X$ .
Así que sí, la preimagen de todo el codominio de $f$ es el dominio de $f$ pero la noción de "preimagen" se define de forma más general para subconjuntos arbitrarios del codominio.
