Cómo aplicar el lema de Gronwall

Question

Considere $x'=f(x)$ tal que $(x_1,x_2)\mapsto(-x_1+2x_2,-2x_1-x_2)$ .

Demuestre que para dos soluciones $x(t)$ y $y(t)$ de la ecuación diferencial anterior, tenemos:

$$\lVert x(t)-y(t)\rVert \leq e^{-t}\lVert x(0)-y(0)\rVert .$$

Por favor, ¿puede mostrarme cómo aplicar el lema de Gronwall a esto?

Esta parte que más confunde a es cómo utilizar el lema y cómo utilizar el lema con $$(x_1,x_2)\mapsto(-x_1+2x_2,-2x_1-x_2).$$

P.D. No entiendo por qué se ha votado en contra. Las directrices del sitio establecen que si una pregunta no se ha respondido o no se ha respondido correctamente, se puede volver a hacer.

Muchas gracias.

Answer 1

Esto se parece sospechosamente a una de las preguntas de mis talleres de ecuaciones diferenciales de este año. De todos modos, vamos a $z=||x-y||^2.$ Entonces $\frac{d}{dt}z=\frac{d}{dt}||x-y||^2$ que es igual a $$ =2 \begin{pmatrix} x_1-y_1 \\ x_2-y_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -x_1+2x_2+y_1-2y_2\\ -2x_1-x_2+2y_1+y_2 \end{pmatrix} \\ =2(x_1-y_1)(-x_1+2x_2+y_1-2y_2)+2(x_2-y_2)(-2x_1-x_2+2y_1+y_2) \\ =-2x^2_1+4x_1y_1-2x^2_2-2y^2_1-2y^2_2+4x_2y_2 \\ =-2(x_1-y_1)^2-2(x_2-y_2)^2 =-2z. $$ Aplicando la desigualdad de Gronwall se obtiene $$ z\leq e^{-2t}z(0)\Rightarrow ||x(t)-y(y)||\leq e^{-t}||x(0)-y(0)||. $$

Answer 2

Creo que así es como responderías a la pregunta, pero no estoy seguro y tampoco lo entiendo del todo. http://www.math.ucla.edu/~ralston/33b.1.10f/Gronwall.pdf