Pregunta intuitiva sobre los valores límite de una función de Sobolev

Question

Sea $B_R$ una bola de radio $R$ en $R^n.$ Sea $u \in H^1(B_R)$ y que $u^{1} \in H^1(B_R)$ con $u^1 - u^{+} \in H^1_{0}(B_R)$ . ( $u^{+}$ denota la parte positiva de la función $u$ ). Sea $v(y) : = max \{ u(y) , u^{1} (y)\}$ . Intuitivamente $ v - u^{+} \in H^1_{0}(B_R)$ porque $u \leq u^{+}$ . He intentado muchas veces demostrar esto, pero no consigo nada. ¿Alguien podría ayudarme a demostrarlo o darme un contraejemplo?

Answer 1

Puede escribir $$ v -u^+= \max(u,u^1)-u^+ = \max(u^+-u^1+u^-,0) + u^1-u^+. $$ Ahora por suposición $u^1-u^+\in H^1_0(B_R)$ . Además, $u^+-u^1=0$ en la frontera, y $\max(u^-,0)=0$ en la frontera. Por tanto, la traza de $v-u^+$ es cero. Y $v-u^+\in H^1_0(B_R)$ .