Ecuaciones diferenciales acopladas: Transformada de Laplace

Question

Utilizando las transformadas de Laplace hallar los valores de w, u y v en estado estacionario: $$\frac{du}{dt}=-\frac{\Gamma}{2}u+\Delta v,$$$$ \frac{dv}{dt}=-\frac{\Gamma}{2}v - \Delta u +w \Omega, $$$$\frac{dw}{dt}=-\Gamma-\Gamma w - \Omega v.$$ Dónde $\Gamma, \Omega,$ y $\Delta$ son constantes, y $v(t), u(t),$ y $w(t)$ son funciones.

Intento:

Así que estas ED son, de hecho, una forma de ecuaciones de Maxwell-Bloch. Para encontrar el estado estacionario, puse todas las derivadas temporales iguales a cero en el LHS. Luego tomé la transformada de Laplace de ambos lados:

$$L \{-\frac{\Gamma}{2}u+\Delta v\}= \frac{- \Gamma}{2} U(s)+\Delta V(s) =0 \tag{1}$$

$$L \{-\frac{\Gamma}{2}v - \Delta u +w \Omega \}= \frac{- \Gamma}{2} V(s)-\Delta U(s)+ \Omega W(s) =0 \tag{2}$$

$$L \{-\Gamma-\Gamma w - \Omega v \}= -\frac{\Gamma}{s} - \Gamma W(s) - \Omega V(s) \tag{3}=0.$$

Entonces, ¿cuáles serían los valores en estado estacionario? ¿Cómo proceder a partir de aquí?

¿Y podemos suponer que $s=0$ se encuentra en la región de convergencia?

Answer 1

Utilizando una notación vectorial, el sistema se lee

$$\frac{d\mathbf x}{dt}=A\mathbf x+\mathbf b.$$

Tomar la transformada de Laplace, dando

$$s\mathbf X-\mathbf x_0=A\mathbf X+\frac{\mathbf b}s,$$ resuelto por

$$\mathbf X=(sI-A)^{-1}\left(\mathbf x_0+\frac{\mathbf b}s\right).$$

Para obtener la respuesta en el infinito, multiplique por $s$ ant tomar el límite en $0$ ,

$$\mathbf x_\infty=\lim_{s\to0}s\mathbf X=\lim_{s\to0}\,(sI-A)^{-1}\left(s\mathbf x_0+\mathbf b\right)=-A^{-1}\mathbf b.$$

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Esta es obviamente la solución del sistema en estado estacionario

$$0=A\mathbf x+\mathbf b.$$

Utilizar la transformada de Laplace es exagerado para este problema.