Sea $z \in \mathbb{C}$ . Me gustaría demostrar que si $(z^a,z^c,z^b \bar{z}^d,z^{b+d})=(1,1,1,1)$ y gcd $(a,b,c,d)=1$ y gcd $(a^2-c^2,b^2-d^2)=4$ entonces $z=1$ .
Nótese que no estoy seguro de si esto es cierto o no, pero creo que lo es. Mi argumento empieza como sigue:
Supongamos que $z$ es una primitiva $n$ es decir, la raíz de la unidad, $z^n=1$ y $n$ es el número entero positivo más pequeño. Entonces
$z^a=1 \implies n |a$
$z^c=1 \implies n |c$
$z^b \bar{z}^d=1 \implies z^b=z^d \implies n |(b-d)$
$z^{b+d}=1 \implies n|(b+d)$ .
Utilizando las condiciones de división que n divide $b-d$ y $b+d$ se deduce que $n|2b$ y $n|2d$ . Además, puesto que $n$ divide $a$ y $n$ divide $c$ se deduce que $n$ divide $2a, 2b,2c$ y $2d$ . Por lo tanto $n=1$ o $n=2$ porque gcd $(2a,2b,2c,2d)=2$ . Si $n=2$ entonces como $2|a$ y $2|c$ entonces $4$ divide $a^2-c^2$ . Además, puesto que $2$ divide $(b-d)$ y $(b+d)$ tenemos que $4$ divide $b^2-d^2$ .
Ahora, esto no parece darme una contradicción, así que estoy atascado.
