Cuáles son los pasos detallados de la integral $\int_{-\infty}^{+\infty}{{\rm e}^{(-\frac{(x-(a+bc^2))^2} {2c^2})}}\,{\rm d}x$ ?

Question

¿Cuáles son los pasos detallados del cálculo de la integral $\int_{-\infty}^{+\infty}{{\rm e}^{(-\frac{(x-(a+bc^2))^2} {2c^2})}}\,{\rm d}x$ Obtuve una respuesta de $\sqrt{\pi b}$ de WolframAlpha pero no pude obtener una respuesta detallada de cómo se deriva. Además, la integral indefinida es $-\frac{1}{2}\sqrt{\pi b}{\rm erf}(\frac{a-x}{\sqrt{b}})+C$ Yo también me pregunto cómo se obtiene. Gracias.

Answer 1

Poner $x-(a+bc^2)=t$

entonces,

$I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2/2c^2} dt$

lo sabemos,

$\mathcal{F}[e^{-{at^2}}]=\displaystyle\int_{t=-\infty}^{t=\infty}e^{-at^2}e^{-j\omega t}dt=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\exp\left(\dfrac{-\omega^2}{4a}\right)$

para su caso ponga $\omega =0$ y $a=\dfrac{1}{2c^2}$

obtendrás

$I=c\sqrt{2\pi}$

nota: en general

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\exp(-mx^n)dx=\dfrac{\dfrac{1}{n}\Gamma\left({\dfrac{1}{n}}\right)}{n\ (m)^{1/n}}$