Cómo reescribir $(a+n)^2-n^2$ como $(a+b)^2$

Question

¿Cómo resuelvo $b$ en $(a+n)^2-n^2 = (a+b)^2$ ?

Answer 1

Por naturaleza $n$ y soluciones reales hay que asumir $a\ge 0,\,$ porque de lo contrario el LHS es negativo. Ahora basta con echar raíces cuadradas para obtener $$\pm\sqrt{(a+n)^2-n^2}=a+b \Longrightarrow b= -a \pm\sqrt{(a+n)^2-n^2}.$$ Si lo deseas, puedes simplificar el radicando.

Answer 2

LHS \begin{eqnarray} (a+n)^{2}-n^{2} &=& a^{2}+2an+n^{2}-n^{2} \\ &=& a^{2}+2an \end{eqnarray}

RHS \begin{eqnarray} (a+b)^{2}&=& a^{2}+2ab+b^{2}\\ \end{eqnarray}

LHS = RHS dando $$2an=2ab+b^{2}$$

O

$$b^{2}+2ab-2an=0$$

De qué

$$b=-a \pm \sqrt{a(a+2n)} $$

He dejado deliberadamente algunos huecos, ¿podría rellenarlos?