Grado del campo de división de $X^4-3X^2+5$ en $\mathbb{Q}$

Question

Me gustaría saber cómo resolver la parte $ii)$ del siguiente problema:

Dejemos que $K /\mathbb{Q}$ sea un campo de división para $f(X) =X^4-3X^2+5$ .

i ) Demostrar que $f(X)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[X]$

ii ) Demostrar que $K$ tiene grado $8$ en $\mathbb{Q}$ .

iii ) Determinar el grupo de Galois de la extensión $K/\mathbb{Q}$ y mostrar cómo actúa sobre las raíces de $f$ .

He hecho parte i ), y han encontrado las raíces de $f$ explícitamente como:

$$\pm\bigg(\frac{3\pm\sqrt{-11}}{2}\bigg)^{1/2}$$

pero no estoy seguro de cómo demostrar que la extensión tiene grado $8$ . Si $x_1$ es la raíz donde ambos $\pm$ los signos de arriba son $+$ y $x_2$ es la raíz donde sólo el signo exterior es un $+$ entonces $K = \mathbb{Q}(x_1,x_2)$ . Por parte $i)$ , $x_1$ tiene grado $4$ en $\mathbb{Q}$ y luego $x_2$ tiene grado $1$ o $2$ en $\mathbb{Q}(x_1)$ pero no estoy seguro de cómo demostrar que este grado es $2$ o demostrar el resultado por otros medios.

Debido a la ordenación de las piezas, esperaría que hubiera una respuesta para ii ) que no requiera calcular todo el grupo de Galois de la extensión, por lo que agradecería algo en este sentido.

Answer 1

Después de pensarlo un poco, he encontrado una respuesta muy corta que utiliza una cantidad mínima de cálculo:

Con la notación como en la pregunta, tenemos: $$x_1x_2 = \sqrt{5}, x_1^2 = \frac{3+\sqrt{-11}}{2}.$$ Así, $K$ contiene el subcampo $F = \mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{-11})$ que es de Galois y de grado $4$ en $\mathbb{Q}$ con el grupo de Galois $G'\cong V_4$ generado por $\sigma$ y $\tau$ , donde $\sigma$ fija $\sqrt{5}$ y permuta $\pm\sqrt{-11}$ y $\tau$ fija $\sqrt{-11}$ y permuta $\pm\sqrt{5}$ .

Si $F=K$ entonces $x_i \in F$ y entonces las relaciones anteriores dan inmediatamente que $\sigma\tau(x_1) = \pm x_2$ y $\sigma\tau(x_2)=\mp x_1$ . Pero entonces $\sigma\tau \in G'$ tiene orden $4$ , una contradicción, por lo que debemos tener que $K$ es estrictamente mayor que $F$ por lo que debe ser de grado $8$ en $\mathbb{Q}$ como se desee.

Answer 2

En $\mathbb{Q}(\sqrt{-11})$ tienes dos polinomios $$x^2-3-\sqrt{-11}=0$$ y $$y^2-3+\sqrt{-11}=0$$

Ahora verifique que $$(xy)^2=20$$ para que si $y\in\mathbb{Q}(\sqrt{-11},x)$ entonces $\sqrt{5} \in \mathbb{Q}(\sqrt{-11},x)$ . Así que sólo queda comprobar que esto no puede ocurrir.

Para ello, un enfoque es asumir $$\sqrt{5} =a+b\sqrt{-11}+(c+d\sqrt{-11})x$$ y resolver esto para $x$ estamos reducidos a $x\in \mathbb{Q}(\sqrt{-11},\sqrt{5})$ .

Lo que significaría $$\sqrt{3+\sqrt{-11}}=a+b\sqrt{-11}+c\sqrt{5}+d\sqrt{-11}\sqrt{5}$$

escribamos esto como $$\sqrt{3+\sqrt{-11}}=p+q\sqrt{5}$$ donde $p=a+b\sqrt{-11}$ y $q=c+d\sqrt{-11}$ elementos de $\mathbb{Q}(\sqrt{-11})$ .

Elevando al cuadrado tenemos $$3+\sqrt{-11}=p^2+5q^2+2qp\sqrt{5}$$ si $pq\neq 0$ entonces $\sqrt{5}\in \mathbb{Q}(\sqrt{-11})$ . Así que $pq=0$ . Si $q=0$ entonces $\sqrt{3+\sqrt{-11}}\in \mathbb{Q}(\sqrt{-11})$ . Y si $p=0$ entonces $\sqrt{3+\sqrt{-11}}=(c+d\sqrt{-11})\sqrt{5}$ que también es imposible.

Answer 3

Con razón $$ x_1=\sqrt{\frac{3+\sqrt{-11}}{2}}= \frac{1}{2}(\sqrt{\sqrt{20}+3}+i\sqrt{\sqrt{20}-3}) $$ y $$ x_2=\sqrt{\frac{3-\sqrt{-11}}{2}}= \frac{1}{2}(\sqrt{\sqrt{20}+3}-i\sqrt{\sqrt{20}-3}) $$ (cualquier determinación de la misma) bastan para generar el campo de división.

Si $x_2\in\mathbb{Q}(x_1)$ También $x_1+x_2=\sqrt{\sqrt{20}+3}$ pertenece a $\mathbb{Q}(x_1)$ sin embargo, $\alpha=\sqrt{\sqrt{20}+3}$ tiene grado $4$ en $\mathbb{Q}$ y por lo tanto $\mathbb{Q}(x_1)=\mathbb{Q}(\alpha)$ sería un subconjunto de los reales, que no lo es.

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¿Por qué $\alpha$ tener un título $4$ ? Es evidente que tenemos $\alpha^2\in\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ Así que sólo tenemos que demostrar que $\alpha$ no puede escribirse como $$ \alpha=a+b\sqrt{5} $$ para la racionalidad $a$ y $b$ . Esto significa que $$ 2\sqrt{5}+3=a^2+5b^2+2ab\sqrt{5} $$ y así $b=a^{-1}$ Por lo tanto $$ a^4-3a^2+5=0 $$ que es exactamente la ecuación con la que empezamos y que no tiene raíz racional.

Answer 4

Consideremos el polinomio $Z^2 - 3Z + 5$ . Tiene dos raíces, y ambas pertenecen a la extensión cuadrática $L = \mathbb{Q}(\sqrt{-11})$ . Las raíces de su polinomio original son las raíces cuadradas de estos tipos, por lo que cada uno pertenece a dos extensiones cuadráticasf de $L$ y los cuatro pertenecen a una extensión $K$ de $L$ de grado como máximo $4$ (sobre $L$ ), por lo que el grado a lo sumo $8$ en $\mathbb{Q}$ .

Esto construye explícitamente un campo que incluye todas las raíces de su polinomio, por lo que contiene el campo de división $K$ pero no es inmediatamente obvio que sea ese campo de división. ¿Quizás baste con un campo más pequeño?

Para completar la prueba, se comienza con el campo de división $K$ que contiene las cuatro raíces del polinomio. Al ser un campo, debe contener también los cuadrados de estas raíces, y éstas no son otras que las raíces de la cuadrática. Así que $K$ contiene efectivamente $L$ . Ahora, tenemos que demostrar que es efectivamente un grado $4$ extensión de la misma, y no $L$ ni una extensión cuadrática de la misma. Te dejo los detalles.

Actualización. En $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-11})$ es decir, en la extensión de campo de grado $2$ el polinomio $f$ factores como $$\left(X^2 - {{3 + \sqrt{-11}}\over2}\right)\left(X^2 - {{3 - \sqrt{-11}}\over2}\right).$$ Obviamente, no se divide más sobre $K$ (compruebe que ${{3 \pm \sqrt{-11}}\over2}$ no son cuadrados en $K$ ), por lo que necesitamos unir algunas raíces de $f$ . Dejemos que $$\alpha\text{ be a root of }X^2 - {{3 + \sqrt{-11}}\over2},\text{ }\beta \text{ be a root of }X^2 - {{3 - \sqrt{-11}}\over2}.$$ Necesitamos tener a los dos en el campo de la división. Entonces, obviamente, obtendremos $-\alpha$ y $-\beta$ allí y por lo tanto $f$ se dividirá en $K(\alpha, \beta)$ . Así que la única cuestión que queda es la siguiente: si unimos $ \alpha$ no podríamos arrastrar automáticamente $\beta$ a lo largo, o en otras palabras, es $K(\alpha, \beta) = K(\alpha)$ o, en este caso, es $K(\alpha) = K(\beta)$ ? Cuando $\alpha$ y $\beta$ son raíces de polinomios, digamos $X^2 - 2$ y $X^3 - 3$ ni siquiera nos plantearíamos este tipo de preguntas, ya que está bastante claro que los colindantes $\sqrt{2}$ no nos permitiría conseguir $\sqrt{3}$ como $\mathbb{Q}$ -combinación lineal de $\sqrt{2}$ y $1$ pero este caso es un poco menos obvio. Así es $\beta \in K(\alpha)$ o, en su defecto, son $\alpha$ y $\beta$ depende linealmente de $K$ ? Pues bien, supongamos que $$\beta = c\alpha + d,\quad c, \,d \in K.$$ Al cuadrarlo nos dará $$\beta^2 = c^2\alpha^2 + 2cd\alpha + d^2.$$ En otras palabras, $$\beta^2 - c^2\alpha^2 - d^2 = 2cd\alpha.$$ El lado izquierdo de lo anterior es un elemento de $K$ pero $\alpha$ no existe, por lo que las únicas posibilidades son $c = 0$ o $d = 0$ . Bueno, $c = 0$ implicaría que $\beta \in K$ Lo cual no es cierto. Y $d = 0$ implicaría que $$c = {\beta\over\alpha} \in K$$ o $$c^2 = {{\beta^2}\over{\alpha^2}} = {{3 - \sqrt{-11}}\over{3 + \sqrt{-11}}} = {{(3 - \sqrt{-11})^2}\over{20}}$$ es un cuadrado en $K$ . Eso implicaría que $20$ es un cuadrado en $K$ lo que no es el caso (compruebe esto). Por lo tanto, concluimos que $K(\alpha, \beta) \supsetneq K(\alpha)$ . Así que tenemos la siguiente torre de extensiones de campos cuadráticos $$\mathbb{Q} \subsetneq K \subsetneq K(\alpha) \subsetneq K(\alpha, \beta).$$ Desde el grado de extensión de un campo es multiplicativo, obtenemos $$[K(\alpha, \beta) : \mathbb{Q}] = 2^3 = 8,$$ como se desee.