Un grupo compacto no discreto para cualquier norma no puede ser contable

Question

Sea $G$ un compacto no discreto para alguna norma $N$ entonces $G$ es un espacio de Baire.

Supongamos que $G$ es contable.

Entonces:

$\begin{equation*} G = \bigcup\limits_{x \in G} \{ x \} \end{equation*}$

Tenemos:

• $\{ x \}$ no tiene interior y está cerrado.
• $G$ es una reunión contable de conjuntos cerrados sin interior.

Por el teorema de Baire, $G$ no tiene interior.

Pero, como $G$ es cerrado y abierto por definición, $G$ debe ser su propio interior.

Tenemos una contradicción, entonces $G$ no puede ser contable.

Intento demostrar que un grupo compacto para cualquier norma no puede ser contable, ¿es correcta esta demostración? ¿Se puede generalizar más? ¿Hay alguna hipótesis inútil? ¿Tengo derecho a utilizar la topología inducida para $G$ donde $G$ es algo como $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ ?

Answer 1

Tienes razón en que un grupo topológico compacto no puede ser contablemente infinito, por Baire (lo que implica que un grupo contable Baire (Hausdorff top.) es discreto, ya que debe haber un singleton abierto, lo que implica que todos los singletons son abiertos, etc.).

Una prueba mejor:

Supongamos que $X$ es un grupo topológico Baire contable (que incluye $T_1$ -ness). Entonces $X$ es discreta.

Entonces $X = \cup_{x \in X} \{x\}$ . El teorema de Baire nos dice que uno $\{x\}$ (que es cerrado) debe tener un interior no vacío, por lo que tal $x$ es un punto aislado. Pero un grupo topológico es homogéneo, así que esto significa que todos $x \in X$ son puntos aislados. Así que $X$ es un espacio discreto.

Corolario: Un grupo topológico infinito contable no puede ser compacto.

En este contexto, compacto implica Baire y un espacio discreto infinito no es compacto.

El infinito contable es esencial, ya que los grupos discretos finitos son compactos, y $S^1$ (cualesquiera otros) es un grupo compacto incontable. En la primera afirmación no podemos dejar de lado Baire, ya que los racionales son un grupo no discreto contable no Baire. Y $\mathbb{Z}$ es el principal (¿único?) ejemplo de grupo topológico Baire contablemente infinito (localmente compacto implica Baire).

Answer 2

Un grupo topológico compacto no puede ser contable porque admite un Medida de Haar .

Usted tiene $1=\mu(G)=\sum_{g\in G} \mu(\{g\})$ . De ello se deduce que la suma tiene que ser finita (porque $\mu$ da la misma medida en cada singleton).

Esto no es cierto para los grupos no compactos (véase mi comentario). Por ejemplo $\mathbb{Z}$ con topología discreta es un grupo topológico de Hausdorff.