Eversión de la 6-esfera en el 7-espacio

Question

Digamos que $S^n$ "admite eversión" si la inclusión $S^n \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}$ es regularmente homotópico al mapa antipodal (donde una homotopía "regular" es un camino continuo a través de inmersiones).

Smale demostró que $S^2$ admite la eversión definiendo un invariante algebraico apropiado que corresponde unívocamente a las clases regulares de homotopía, y observó que el grupo en el que vive este invariante es trivial. Mucha gente no se lo creyó hasta que alguien hizo una película ilustrando una eversión explícita.

Se puede demostrar que $S^n$ admite eversión si y sólo si el haz tangente de $S^{n+1}$ es trivial. Es decir, las únicas esferas que admiten eversión son $S^0$ , $S^2$ y $S^6$ .

Mi pregunta es: ¿conoce alguien una eversión explícita de $S^6$ en $\mathbb{R}^7$ ?

Answer 1

(Este es mi primer post en mathoverflow. A partir de ahora y por desgracia no se me permite publicar comentarios (esto necesita reputación 50), por lo que parte del presente post en el cuadro de respuesta sería mejor encajar en los comentarios, lo siento por esto).

Citando el artículo de Sullivan "El Optiverso" y otras eversiones de la esfera disponible en la web a partir de hoy:

Charles Pugh realizó modelos de la eversión [de Morin-Apéry], y Nelson Max digitalizó estos modelos e interpoló entre ellos para su famosa película infográfica de 1977 "Turning a Sphere Inside Out".

Esta podría ser la primera película. Hoy se puede encontrar en Youtube. Hasta donde yo sé, la eversión de Shappiro solo se había publicado en imágenes fijas (en Scientific American) cuando se realizó la película anterior.

La eversión de Morin-Apéry se propuso después de la de Shappiro, que es la primera realización (siempre según el artículo de Sullivan).

También está la película del Centro de Geometría de fuera a dentro con una contribución decisiva de Thurston. Como ya señaló Igor Rivin, éste utiliza ondulaciones, en la línea de las ideas de lo que desde Gromov se denomina el principio h. Nótese que no estoy seguro de hasta qué punto llega la analogía entre $C^1$ incrustaciones isométricas (que no pueden tomarse $C^2$ ) y las eversiones que pueden elegirse para ser $C^k$ .

El artículo de John Sullivan presenta una película que realizó en colaboración con Rob Kusner, Ken Brakke, George Francis y Stuart Levy. Se titula el optiverso . Se hace tomando la trayectoria óptima con respecto a la energía de Willmore (intergal del cuadrado de la curvatura media). Probablemente se podría volver a utilizar esta idea (con bastante más potencia de cálculo necesaria). Pero no está claro cómo explotar el resultado (una malla 6D en movimiento en $\mathbb{R}^7$ ).

La última película que conozco se llama Holiverse (véase arXiv y/o Youtube).

Por supuesto, no hay esperanzas de una película de la 7D, pero seguiría siendo interesante tener más información sobre la $S^6$ eversión. Permítanme presentarles una cuestión estrechamente relacionada con la suya: Morin demostró que el número mínimo de transiciones topológicas genéricas en un $S^2$ eversión es 14. ¿Cuál sería el número mínimo para $S^6$ ?

Answer 2

Los comentarios dan una versión bastante falsa de la historia. Es cierto que se rodó una película ("Outside in") en el centro de geometría, pero la eversión explícita precede a la película en tres décadas, y se debe a Arnold Shapiro (1960), simplificada por Bernard Morin en 1967. Una buena referencia es un artículo del Intelligencer escrito por Morin y George Francis en 1980.

La técnica de "arrugamiento" de Thurston no se debe a Thurston, sino a Nico Kuiper, que la utilizó en los años sesenta para demostrar el asombroso resultado de que TODAS las variedades riemannianas admiten una $C^1$ isométrica en su dimensión de incrustación topológica, y no sólo eso, la imagen de la incrustación puede ser restringida a estar en una bola arbitrariamente pequeña. Más tarde, Gromov convirtió este círculo de ideas en una ciencia ("el principio h").

En cuanto a escribir algo explícito para $S^6,$ tal vez, pero ¿dónde se atasca este método para $S^4,$ ¿Por ejemplo? Ninguna arruga puede superar la obstrucción...