¿Por qué $x=2 \implies (x-2)(x-3)=0$ ¿Falso?

Question

Sea $P(x)$ sea la ecuación $x=2$ y $Q(x)$ sea la ecuación $(x-2)(x-3)=0$

Por definición de implicación veo que $P(x)$ implica $Q(x)$ ...

Tal y como yo lo veo, cualquier premisa que sea falsa puede dar cualquier consecuencia. Con $x=2$ ambos lados de la flecha son verdaderos .. por lo que la implicación es verdadera.

Es evidente que $Q(x)$ implica $P(x)$ y también está claro que $P(x)$ y $Q(x)$ no son equivalentes. Dado que $Q(x)$ implica $P(x)$ y $P(x)$ y $Q(x)$ no son equivalentes se deduce que $P(x)$ no puede implicar $P(x)$ .

¿En qué me equivoco?

EDIT: Lo sabía $P(x)\Leftrightarrow Q(x)$ no era válida. Y pensé erróneamente que $P(x)\Leftarrow Q(x)$ es válida, lo que debería implicar, si fuera válida, que $P(x)\nRightarrow Q(x)$ . Pero las pruebas $P(x)\Rightarrow Q(x)$ por la tabla de verdad mostró $P(x)\Rightarrow Q(x)$ es válido, lo que me confundió. Simplemente estaba pensando erróneamente $P(x)\Leftarrow Q(x)$ que es la respuesta correcta. También he publicado una soultion abajo, que error tipográfico se corrige.

Answer 1

En la lógica de la declaración, $P \Rightarrow Q$ sólo se equivoca cuando $P$ está mal, $Q$ es cierto. Puede leer aquí para más detalles https://en.wikipedia.org/wiki/Material_conditional . (principalmente en el Tabla de verdad sección)

En tu pregunta, se trata de una afirmación dependiente de variable $x$ , es decir, la característica de verdadero o falso de $P(x) \Rightarrow Q(x)$ dependen del valor de $x$ .

Sea más específico, $x=2 \Rightarrow (x-2)(x-3)=0$ consideramos $x \in \mathbb{R}$ (por supuesto puede ocuparse del caso $x \in \mathbb{C}$ )

$\bullet x=2$ obtenemos $2=2 \Rightarrow (2-2)(2-3)=0$ o $P(x), Q(x)$ son verdaderas, por lo que la afirmación es verdadera

$\bullet x \neq 2$ concluimos que $P(x)$ es siempre errónea, por lo que según la tabla de la verdad, la afirmación es verdadera Conlusión: $P(x) \Rightarrow Q(x)$ siempre es verdad

Entonces, aplicando el mismo método, se puede responder por qué no podemos utilizar el argumento $Q(x) \Rightarrow P(x)$ porque cuando $x=3$ , $Q(x)$ está mal, $P(x)$ es verdadera, por lo que la afirmación $Q(x) \Rightarrow P(x)$ es erróneo, por supuesto es cierto para $x \neq 3$ pero si desea utilizarlo, debe restringirlo a la condición $x\neq 3$ .

Un poco más lejos Esta pregunta me recuerda a las transformaciones razonables en la resolución de una ecuación. Es decir $P(x) =0 \Rightarrow Q(x)=0$ si y sólo si el conjunto de soluciones de $P(x)$ es un subconjunto del conjunto solución de $Q(x)$ es decir $P(x) \Rightarrow Q(x)$ es siempre verdadera si y sólo si el conjunto de soluciones de $P(x)$ es un subconjunto del conjunto solución de $Q(x)$ (puedes utilizar el método anterior para demostrarlo). Cuando el conjunto solución de $P(x)$ es exactamente igual al conjunto de soluciones de $Q(x)$ podemos escribir $P(x)\Leftrightarrow Q(x)$ . Eso tiene sentido porque cuando resuelves $Q(x)$ hay algunas soluciones de $Q(x)$ que no la solución de $P(x)$ y tienes que comprobarlo de nuevo (esta sección es una de las que más olvidan los estudiantes de secundaria)

Answer 2

Normalmente en lógica, hablamos de valor de verdad para frases que son fórmulas sin variables libres. Aquí tienes una variable libre $x$ . Sin embargo, para cualquier elección particular de $x$ la afirmación es cierta.

Answer 3

Para el caso $P(x)\Rightarrow Q(x)$ :

Si elegimos $x=2$ entonces tenemos verdadero en ambos lados de la flecha. Si elegimos $x\neq 2$ entonces P(x) es falsa y Q(x) puede ser falsa (si $x\neq 3$ ) o verdadero (si $x=3$ ). La implicación $P(x)\Rightarrow Q(x)$ es, por tanto, válida.

A continuación explicaré por qué me equivoqué. Esto es para el caso $P(x)\Leftarrow Q(x)$ :

Si elegimos $x=2$ entonces tenemos verdadero en ambos lados de la flecha. Si elegimos $x=3$ entonces tenemos que Q(x) es verdadera y P(x) es falsa. Dado que este escenario es posible, significa que la implicación $P(x)\Leftarrow Q(x)$ no es válida, es decir, tenemos $P(x)\nLeftarrow Q(x)$ .

Un ejemplo similar un poco más intuitivo y autoexplicativo es cuando consideramos $x=3 \Rightarrow x^2=9$ que es totalmente válido. ¿Y si cambiamos la dirección de la flecha en la implicación? Cambiando la dirección de la flecha, nos da $x=3 \nLeftarrow x^2=9$ desde $x=-3$ es cierto para $x^2=9$ pero no para $x=3$ .