¿Por qué $x=2 \implies (x-2)(x-3)=0$ ¿Falso?

Question

Sea $P(x)$ sea la ecuación $x=2$ y $Q(x)$ sea la ecuación $(x-2)(x-3)=0$

Por definición de implicación veo que $P(x)$ implica $Q(x)$ ...

Tal y como yo lo veo, cualquier premisa que sea falsa puede dar cualquier consecuencia. Con $x=2$ ambos lados de la flecha son verdaderos .. por lo que la implicación es verdadera.

Es evidente que $Q(x)$ implica $P(x)$ y también está claro que $P(x)$ y $Q(x)$ no son equivalentes. Dado que $Q(x)$ implica $P(x)$ y $P(x)$ y $Q(x)$ no son equivalentes se deduce que $P(x)$ no puede implicar $P(x)$ .

¿En qué me equivoco?

EDIT: Lo sabía $P(x)\Leftrightarrow Q(x)$ no era válida. Y pensé erróneamente que $P(x)\Leftarrow Q(x)$ es válida, lo que debería implicar, si fuera válida, que $P(x)\nRightarrow Q(x)$ . Pero las pruebas $P(x)\Rightarrow Q(x)$ por la tabla de verdad mostró $P(x)\Rightarrow Q(x)$ es válido, lo que me confundió. Simplemente estaba pensando erróneamente $P(x)\Leftarrow Q(x)$ que es la respuesta correcta. También he publicado una soultion abajo, que error tipográfico se corrige.

Answer 1

$$(x-2)(x-3)=0 \iff x = 2 \ \, \text{or} \, \ x = 3$$

Si $x=2$ entonces se cumple la hipótesis del lado derecho y tenemos el lado izquierdo.

No veo por qué se supone que eso es falso.

Answer 2

Quizás quieras decir lo contrario $Q(x) \Rightarrow P(x)$ ...que es falso. Si $(x-2)(x-3) =0$ entonces $x=2$ o $x=3$ por lo que no es necesariamente el caso que $x=2$ .

Answer 3

En tu comentario a la respuesta de Jack Bauer escribes

"se supone que es falso ya que x=3 es una solución... pero por la definición de implicación lo veo cierto... ¿qué es lo que falla?"

El problema es cuando dices "Se supone que es falso ya que $x=3$ es una solución". El hecho de que $x=3$ es una solución no hace " $P\implies Q$ " falso; hace que " $Q\implies P$ " falso. No hay ningún problema en decir " $P$ implica $Q$ pero no es equivalente a $Q$ ."

Answer 4

Creo que el problema está en cómo entender las expresiones lógicas y cómo utilizarlas. Si miras la tabla de verdad de $P\Rightarrow Q$ lo has hecho: $$\begin{array}{ccc} P&Q&(P\Rightarrow Q)\\\hline T&T&T\\ T&F&F\\ F&T&T\\ F&F&T \end{array}$$ Por lo tanto, tiene razón al decir que si $P$ es falso, entonces $P\Rightarrow Q$ es cierto, no importa lo que $Q$ es. Esto no significa, sin embargo, que $Q$ debe ser cierto.

La forma de utilizar los enunciados lógicos es: $$\begin{align} P \text{ is true}&&\color{blue}{\text{and}}&&(P\Rightarrow Q)\text{ is true} \end{align}$$ implican que $$\begin{equation} Q\text{ is true}. \end{equation}$$

Apliquemos esto a $Q\Rightarrow P$ . Para deducir que $P$ es cierto, necesita $$\begin{align} Q \text{ is true}&&\color{blue}{\text{and}}&&(Q\Rightarrow P)\text{ is true}. \end{align}$$ Aquí nos encontramos con un problema. Como se ha mencionado en otras respuestas y comentarios, si $Q$ es cierto, esto significa que $x=2$ o $x=3$ . Así que $Q\Rightarrow P$ es falso. No podemos inferir que $P$ es cierto.

Answer 5

Existe una " $\forall x$ " aquí que debería discutirse. Es decir, si $P(x)$ es la proposición " $x=2$ " y $Q(x)$ es la proposición $(x-2)(x-3)=0$ los enunciados lógicos completos cuyo estado verdadero/falso se cuestiona son

$$\forall x(P(x)\implies Q(x))\quad\text{and}\quad \forall x(Q(x)\implies P(x))$$

La primera es cierta, la segunda es falsa. La razón por la que la segunda es falsa es sencilla: $Q(3)$ es cierto, pero $P(3)$ es falsa, por lo que la implicación $Q(x)\implies P(x)$ es no verdadero para todos $x$ . (Nótese, la implicación es cierto para todos $x$ que no sean $3$ sobre todo porque la proposición $Q(x)$ es falso para la mayoría de los valores de $x$ .)

Quizá valga la pena añadir por qué la afirmación $\forall x(P(x)\implies Q(x))$ es cierto. Las proposiciones $P(2)$ y $Q(2)$ son ambas verdaderas, por lo que la implicación $P(2)\implies Q(2)$ es cierto. Para todos $x$ que no sean $2$ la proposición $P(x)$ es falso, lo que hace que cualquier implicación que comience " $P(x)\implies\ldots$ " automáticamente cierto. De ahí la implicación $P(x)\implies Q(x)$ es cierto para todos $x$ .