cardinales tales que $\alpha < \alpha ^ \beta$

Question

Sea $F$ sea una función (de clase) que asigne en cada cardinal $\alpha$ el cardinal mínimo $\beta$ tal que $\alpha < \alpha ^ \beta$ . Tengo que demostrar que $\beta \in \text{Im}(F)$ si $\beta$ es regular (es decir $\text{cof}(\beta) = \beta)$ .

He probado la parte de "sólo si", de hecho si $\beta = F(\alpha)$ no es regular, entonces $\mu < \beta$ sea su cofinalidad. Esto significa que podemos escribir $\beta = \sum_{i \in \mu} \beta_i$ con $\beta_i <\beta$ para cada $i \in \mu$ . Así que tenemos: $$\alpha <\alpha^\beta = \alpha ^ {\sum_{i \in \mu} \beta_i} = \prod_{i \in \mu} \alpha^{\beta_i} = \prod_{i \in \mu} \alpha = \alpha^\mu$$ Donde la tercera equivalencia se debe a que $\beta$ es el mínimo s.t. $\alpha < \alpha^\beta$ Esto es absurdo porque $\mu<\beta$ pero $\alpha < \alpha^\mu$ .

¿Y la parte de "si"?

Answer 1

Recordemos que el beth ( $\beth$ ) se definen por recursión transfinita como $\beth_0=0$ , $\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_\alpha}$ y $\beth_\lambda=\sup_{\alpha<\lambda}\beth_\alpha$ para ordinales límite $\lambda$ . Obsérvese que la secuencia de $\beth$ números está aumentando estrictamente.

Basta con demostrar que si $\kappa$ es regular, entonces $F(\beth_\kappa)=\kappa$ .

Para comprobarlo, observe en primer lugar que $\beth_\kappa$ tiene cofinalidad $\kappa$ y por tanto (por el teorema de König) $(\beth_\kappa)^\kappa>\beth_\kappa$ .

Ahora, supongamos $\lambda<\kappa$ . Queremos demostrar que $(\beth_\kappa)^\lambda=\beth_\kappa$ .

Tenga en cuenta que si $f\!:\lambda\to\beth_\kappa$ entonces, puesto que $\lambda<\kappa$ , $f$ está acotada y, por tanto $$ {}^\lambda\beth_\kappa=\bigcup_{\alpha<\kappa}{}^\lambda\beth_\alpha=\bigcup_{\lambda<\alpha<\kappa}{}^\lambda\beth_\alpha,$$ donde ${}^AB$ es el conjunto de funciones del conjunto $A$ al conjunto $B$ . Así, puesto que $\lambda<\alpha\le\beth_\alpha$ , $$(\beth_\kappa)^\lambda \le \sum_{\lambda<\alpha<\kappa}(\beth_\alpha)^\lambda \le\sum_{\lambda<\alpha<\kappa}(\beth_\alpha)^{\beth_\alpha}= \sum_{\lambda<\alpha<\kappa}\beth_{\alpha+1}=\beth_\kappa.$$